Riflessioni sul gruppo fondamentale di alcuni spazi
Corregetemi se dico assurdità:
Dato che:
$\pi_1 (S^1)~=\pi_1(C)~=\pi_1(M))=(Z,+)$
e che
$S^1~= RR/ZZ$
$M~=RR^2/ZZ$
$C~=RR^2/ZZ$
Il gruppo fondamentale è il quoziente in sostanza?
Dato che:
$\pi_1 (S^1)~=\pi_1(C)~=\pi_1(M))=(Z,+)$
e che
$S^1~= RR/ZZ$
$M~=RR^2/ZZ$
$C~=RR^2/ZZ$
Il gruppo fondamentale è il quoziente in sostanza?
Risposte
Non vale sempre. Se però $G$ è un gruppo topologico semplicemente connesso (come sono $RR$ e $RR^2$) e $H$ un suo sottogruppo normale discreto allora vale la seguente:
$\pi_1(G/H, 1) ~= H$
$\pi_1(G/H, 1) ~= H$
ok lasciamo perdere 
ho detto un castroneria
Ma riguardo il gruppo fondamentale dello spazio proiettivo?
ho detto un castroneria Ma riguardo il gruppo fondamentale dello spazio proiettivo?
Il teorema che ho scritto può essere un po' generalizzato utilizzando la teoria sui rivestimenti. Se hai uno spazio topologico $X$ con rivestimento universale $\rho: Y -> X$ ($\rho$ rivestimento e $Y$ semplicemente connesso) allora esiste una biezione tra $(\pi_1(X,b))/(\rho_{**} \pi_1(Y,a))$ e $\rho^{-1}(b)$. Se quindi $\pi_1(Y,a) = \{1\}$ hai una biezione tra $\pi_1(X, b)$ e $\rho^{-1}(b)$. Nel caso dello spazio proiettivo si ha che $\pi_1(RP^n)$ è in biezione con un insieme di due elementi e quindi è isomorfo all'unico gruppo di due elementi $ZZ_2$.
EDIT: Mi sono accorto di aver commesso un piccolo errore durante la scrittura. La biezione tra $(\pi_1(X,b))/(\rho_{**} \pi_1(Y,a))$ e $\rho^{-1}(b)$ esiste per qualsiasi rivestimento $\rho$ e non solo per i rivestimenti universali. Nel caso di un rivestimento universale $\rho_{**} \pi_1(Y,a)$ è uguale al gruppo banale e quindi $(\pi_1(X,b))/(\rho_{**} \pi_1(Y,a)) = \pi_1(X,b)$.
EDIT: Mi sono accorto di aver commesso un piccolo errore durante la scrittura. La biezione tra $(\pi_1(X,b))/(\rho_{**} \pi_1(Y,a))$ e $\rho^{-1}(b)$ esiste per qualsiasi rivestimento $\rho$ e non solo per i rivestimenti universali. Nel caso di un rivestimento universale $\rho_{**} \pi_1(Y,a)$ è uguale al gruppo banale e quindi $(\pi_1(X,b))/(\rho_{**} \pi_1(Y,a)) = \pi_1(X,b)$.
Sei sicuro il mio proff di geometria mi ha pena detto che il gruppo fondamentale dello spazio proiettivo è la circonferenza e si vede attraverso la compattificazione di
Alexandroff.
Alexandroff.
Su ogni libro che ho il gruppo fondamentale dello spazio proiettivo reale (di dimensione maggiore o uguale a $2$) è $Z_2$. Non ho mai studiato la compattificazione di Alexandroff.
EDIT: Probabilmente stiamo parlando di spazi proiettivi differenti, io parlo di quello reale e tu di quello complesso (del quale non ho ancora studiato il gruppo fondamentale ma immagino possa essere la circonferenza).
EDIT: Probabilmente stiamo parlando di spazi proiettivi differenti, io parlo di quello reale e tu di quello complesso (del quale non ho ancora studiato il gruppo fondamentale ma immagino possa essere la circonferenza).
Era quello reale, non il complesso...
Ti riporto la mail
Per il gruppo
fondamentale basta capire chi e'. Lo posso vedere come la retta
reale col punto all'infinito, ovvero la compattificazione di
Alexandroff ovvero una circonferenza. Oppure con l'identificazione
antipodale ottengo . . . una circonferenza (perche' ?). Dunque
il gruppo fondamentale e' S^1.
Forse sono la stessa cosa, nel senso che esisterà un nesso... che ci è oscuro...... aha
Ti riporto la mail
Per il gruppo
fondamentale basta capire chi e'. Lo posso vedere come la retta
reale col punto all'infinito, ovvero la compattificazione di
Alexandroff ovvero una circonferenza. Oppure con l'identificazione
antipodale ottengo . . . una circonferenza (perche' ?). Dunque
il gruppo fondamentale e' S^1.
Forse sono la stessa cosa, nel senso che esisterà un nesso... che ci è oscuro...... aha
"squalllionheart":
Era quello reale, non il complesso...
Ti riporto la mail
Per il gruppo
fondamentale basta capire chi e'. Lo posso vedere come la retta
reale col punto all'infinito, ovvero la compattificazione di
Alexandroff ovvero una circonferenza. Oppure con l'identificazione
antipodale ottengo . . . una circonferenza (perche' ?). Dunque
il gruppo fondamentale e' S^1.
Forse sono la stessa cosa, nel senso che esisterà un nesso... che ci è oscuro...... aha
A me pare che
1) stai parlando della retta proiettiva (spazio proiettivo di dimensione 1) che effettivamente e' omeomorfo alla circonferenza
2) stai confondendo lo spazio con il suo gruppo fondamentale - in virtu' del punto 1) il gruppo fondamentale della retta proiettiva dovrebbe essere $ZZ$ - questo non contrasta con
quanto affermato da apatriarca, che parla di dimensioni maggiori o eguali a due
E FORZA VICIOUS... PUOI SPIEGARE BENE QUESTA COSA.... PLEASE TI AMO TANTO.
TI AMO TANTO.
"squalllionheart":
E FORZA VICIOUS... PUOI SPIEGARE BENE QUESTA COSA.... PLEASE
Quale cosa? Il fatto che $RR P(1)$ sia omeomorfo alla circonferenza ? - la dim. dipende da come definisci $RR P(1)$, moralmente e' la retta con il punto all'infinito - in tale punto
i due rami della retta si incollano di modo che lo spazio diventa una circonferenza.(questo probabilmente si puo' vedere in termini di compattificazione di Alexandrov).
Una volta che $RR P(1)~S^1$ il suo gruppo fondamentale e' $ZZ$.
Per gli spazi proiettivi $RR P(n)$ con $n\geq 2$ la questione e' molto piu' complicata (e per la verita' non me la ricordo a botta) - ho quindi l'impressione che per ora
non ti interessi.
Purtroppo tra poco devo andare a prendere un figlio a scuola .... e non ho tanto tempo di scrivere dimostrazioni, magari piu' tardi se non ci ha gia' pensato qualcun altro
(che forse si ricorda meglio le cosa). Ciao
e quello con cui parlavo con Luca Lussardi anche lui mi diceva che per spazi proiettivi di dimensione maggiore è diverso...
Non so come funge con $P^2(R)$ e con $P^n(R)$
Non so come funge con $P^2(R)$ e con $P^n(R)$
Per gli spazi proiettivi di dimensione maggiore ho sempre visto la dimostrazione utilizzando la teoria sui rivestimenti alla quale ho fatto riferimento in un mio post precedente. Provo a cercare di dare una spiegazione il più possibile intuitiva.
Considera un cappio $\alpha$ in $P^n(RR)$ in un punto $b$ e la proiezione $\rho: S^n \to P^n(RR)$. Un sollevamento di questo cappio è un cammino $\beta$ in $S^n$ che parte da un $a \in \rho^{-1}(b)$ e finisce in un altro elemento di $\rho^{-1}(b)$ e la sua immagine attraverso $\rho$ è $\alpha$ ($\rho\beta = \alpha$). Si può dimostrare che questo sollevamento è unico (scelto un punto di partenza) e se due cappi $l_1$ e $l_2$ appartengono alla stessa classe di equivalenza allora i loro sollevamenti hanno gli stessi estremi. Ci si può trovare quindi in due situazioni: i due estremi coincidono oppure sono in punti antipodali di $S^n$. Esistono quindi due classi di equivalenza e il gruppo fondamentale è $ZZ_2$.
Considera un cappio $\alpha$ in $P^n(RR)$ in un punto $b$ e la proiezione $\rho: S^n \to P^n(RR)$. Un sollevamento di questo cappio è un cammino $\beta$ in $S^n$ che parte da un $a \in \rho^{-1}(b)$ e finisce in un altro elemento di $\rho^{-1}(b)$ e la sua immagine attraverso $\rho$ è $\alpha$ ($\rho\beta = \alpha$). Si può dimostrare che questo sollevamento è unico (scelto un punto di partenza) e se due cappi $l_1$ e $l_2$ appartengono alla stessa classe di equivalenza allora i loro sollevamenti hanno gli stessi estremi. Ci si può trovare quindi in due situazioni: i due estremi coincidono oppure sono in punti antipodali di $S^n$. Esistono quindi due classi di equivalenza e il gruppo fondamentale è $ZZ_2$.
ok. Grazie.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo