Riferimento naturale relativo ad una carta
Sto studiando Geometria differenziale ed avrei un dubbio su una dimostrazione, non riesco a far quadrare un passaggio (che mi sembra più analitico che algebrico a dire la verità).
Devo dimostrare che ogni riferimento in $p in M$ è il riferimento naturale relativo ad una carta.
Considero allora due basi, quella relativa alla carta $(U, \phi)$, che è $(del/(delx^i))_p$ ed una base arbitraria $(e_j)$. So allora che esiste una matrice di passaggio non singolare $A=(a_i^j)$.
Considero allora per ogni $k$ le applicazioni $x'^k:U \to RR$ tali che $x'^k=a_i^k(x^i - x_0^i)$ ove $x_0^i=pr^i(phi(p))$. Sono $n$ applicazioni differenziabili.
Si considera allora $(U,phi')$ con $phi':U \to phi'(U)$ tale che $pr^k \circ phi' = x'^k$. Poiché $(del x'^k)/(delx^i)(p)= a_i^k$ ed $A$ è non singolare esiste un intorno aperto $U'$ di $p$, $U' \subset U$, tale che per ogni $q in U'$ $((delx'^k)/(delx^i)(q))$ è non singolare.
Poi la dimostrazione procede senza problemi, ma io non capisco come dalle condizioni supposte possa discendere l'esistenza di una matrice non singolare.
Credo che centri il fatto che $phi'$ sia un omeomorfismo, quindi continuo e localmente bigettivo, ma non riesco a far quadrare tutto.
Qualcuno mi dà una mano?
Grazie mille
Devo dimostrare che ogni riferimento in $p in M$ è il riferimento naturale relativo ad una carta.
Considero allora due basi, quella relativa alla carta $(U, \phi)$, che è $(del/(delx^i))_p$ ed una base arbitraria $(e_j)$. So allora che esiste una matrice di passaggio non singolare $A=(a_i^j)$.
Considero allora per ogni $k$ le applicazioni $x'^k:U \to RR$ tali che $x'^k=a_i^k(x^i - x_0^i)$ ove $x_0^i=pr^i(phi(p))$. Sono $n$ applicazioni differenziabili.
Si considera allora $(U,phi')$ con $phi':U \to phi'(U)$ tale che $pr^k \circ phi' = x'^k$. Poiché $(del x'^k)/(delx^i)(p)= a_i^k$ ed $A$ è non singolare esiste un intorno aperto $U'$ di $p$, $U' \subset U$, tale che per ogni $q in U'$ $((delx'^k)/(delx^i)(q))$ è non singolare.
Poi la dimostrazione procede senza problemi, ma io non capisco come dalle condizioni supposte possa discendere l'esistenza di una matrice non singolare.
Credo che centri il fatto che $phi'$ sia un omeomorfismo, quindi continuo e localmente bigettivo, ma non riesco a far quadrare tutto.
Qualcuno mi dà una mano?
Grazie mille
Risposte
Se il determinante di una matrice è positivo (per esempio) in un punto, esso risulta tale in un intorno di tale punto, se le componenti sono continue. E visto che le componenti sono le derivate delle componenti di un omeomorfismo...
Perfetto, è la conferma che cercavo. Purtroppo questa cosa non l'avevo mai incontrata - anche se sospettata - per cui non ero sicuro. Ti ringrazio.
In realtà la conosci ma non ci pensavi: è il teorema della permanenza del segno per funzioni continue.
... cavolo hai ragione. Ieri l'ho fissato per un po', ma non mi convinceva 
Grazie ancora
Grazie ancora
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