Riduzione matrice con parametro

[mazzy89-votailprof]

sia data la seguente matrice associata all'applicazione lineare $f:RR^4->RR^4$

$((1,s-2,0,1),(s-3,2,s-2,3),(1,s,1,4s-8),(s-4,6-s,s-1,4s-7))$

con $s in RR$

anziché calcolarmi il rango tramite determinante volevo ridurre a gradini ma poiché siamo in presenza del parametro $s$ la cosa è un pò delicata e me ne vado in confusione.qualcuno potrebbe aiutarmi?

per esempio girando un pò in giro sulla rete ho visto tutta una serie di regole sulla riduzione a gradini.però c'è una regola che non ho capito.solitamente si tendono a portare i parametri verso il basso in modo che si può proseguire la riduzione senza problemi.per esempio.
posso ridurre la seconda riga con la terza in modo tale che al posto del $2$ via sia lo zero.basta allora moltiplicare per $2$ la terza riga e per $s$ la seconda.ma la moltiplicazione per $s$ è un operazione delicata ho visto in giro per i libri.però non ho capito molto bene questo discorso

[indovina]

Io ho provato a fare un pò di riduzione, sopratutto con l'intento di eliminare più $s$ possibili:
a me è venuto una cosa del tipo:

$((s,-2,2,-3),(2,0,0,0),(0,2,1,4s-9),(1,2-s,0,-1))$

[mazzy89-votailprof]

"clever":Io ho provato a fare un pò di riduzione, sopratutto con l'intento di eliminare più $s$ possibili:
a me è venuto una cosa del tipo:

$((s,-2,2,-3),(2,0,0,0),(0,2,1,4s-9),(1,2-s,0,-1))$

però non è ridotta a gradini giusto?

[indovina]

No, però credo con qualche trucchetto si potrebbe ridurre ulteriormente. Se vuoi posto i miei calcoli, anche se un pò lunghetti, alla fine il mio scopo è quello di togliere più $s$ possibili, così da averne due o al max tre.

[mazzy89-votailprof]

ok forse ho ottenuto qualcosa di fattibile.questa è la mia matrice ridotta per righe

$((1,s-2,0,1),(0,2,1,4s-9),(0,s(3-s),0,(s-3)(s-1)),(0,0,0,0))$

da qui posso discutere il rango

se $s!=3$ rango pari a $3$ altrimenti per $s=3$ rango pari a $2$

[vict85]

OK...

\( \left( \begin{array}{cccc} 1 & s-2 & 0 & 1 \\ s-3 & 2 & s-2 & 3 \\ 1 & s & 1 & 4s-8 \\ s-4 & 6-s & s-1 & 4s-7 \end{array}\right)\)

Ora riduciamo la prima colonna.

\( \left( \begin{array}{cccc} 1 & s-2 & 0 & 1 \\ 0 & 2 - (s-3)(s-2) & s-2 & 3 - (s -3) \\ 0 & s -(s-2) & 1 & 4s-8 - 1 \\ 0 & 6-s - (s-4)(s-2) & s-1 & 4s-7 - (s-4) \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cccc} 1 & s-2 & 0 & 1 \\ 0 & -s^2 + 5s -4 & s-2 & -(s-6) \\ 0 & 2 & 1 & 4s-7 \\ 0 & -s^2+5s-2 & s-1 & 3(s-1) \end{array} \right)\)

Scambiamo la seconda riga con la terza e la seconda colonna con la terza (in pratica usiamo 1 come pivot).

\( \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & s-2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4s-7 \\ 0 & s-2 & -s^2 + 5s -4 & -(s-6) \\ 0 & s-1 & -s^2+5s-2& 3(s-1) \end{array} \right)\)

E ora riduciamo la seconda colonna

\( \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & s-2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4s-7 \\ 0 & 0 & -s^2 + 5s -4 - 2(s-2) & -(s-6) - (s-2)(4s-7)\\ 0 & 0 & -s^2+5s-2 - 2(s-1)& 3(s-1) -(4s-7)(s-1) \end{array} \right) =\)

\( = \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & s-2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4s-7 \\ 0 & 0 & -s(s-3) & -4s^2 +14s -8 \\ 0 & 0 & -s(s-3) & -2 (s-1)(2 s-5) \end{array} \right)\)

[edit] avevo fatto un errore. Fino a qui è giusto.

[Giuly191]

Mi sa che i conti li avete sbagliati un po' tutti, in effetti è dura non incasinarsi in questi casi..
Comunque:

 http://www.wolframalpha.com/input/?i=det{{1%2C+s-2%2C+0%2C1}%2C+{s-3%2C+2%2C+s-2%2C3}%2C+{1%2C+s%2C+1%2C4s-8}%2C{s-4%2C6-s%2Cs-1%2C4s-7}} 

wolfram dice che il determinante è nullo indipendentemente da $s$, ora ricontrollo a mano, ma se wolfram non sbaglia, quella matrice non può avere rango $4$.

[mazzy89-votailprof]

io errori non ne ho commesso dato che non ho mai detto che il rango di questa matrice sia pari a 4.il determinante di questa matrice come dici bene te Giuly19 è pari a $0$ indipendentemente dal valore di $s in RR$.il rango di questa matrice può essere $3$ o $2$ a seconda che $s$ sia uguale o diverso da $3$