Riduzione Matrice
Ragazzi ho provato a ridurre questa matrice, ma non capisco dove sbaglio...alla prof viene Rango=3 a me viene Rango=4
$( ( 2 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 2 ) ) $
Per evitare di riscrivere ogni volta le varie matrici per la riduzione permettetemi di scrivere solo le formule
$R'_2=2R_2-R_1$
$R'_3=2R_3-R_1$
$R'_4=2R_4-R_1$
Successivamente ho fatto un'altra riduzione $R''_3=R'_3+R'2$
Al che mi è spuntata fuori questa matrice
$( ( 2 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , -2 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 2),( 0 , 0 , 0 , 3 ) ) $
Che è ridotta (?? mi sta venendo anche a me ora il dubbio xD) ma ha Rango 4....cosa sbaglio?
***Piccolo Edit***
Spulciando un po' ho trovato un utente che diceva "Per sapere il rango della matrice bisogna contare, nella matrice ridotta, il numero degli elementi della diagonale principale non nulli". Ma io ricordavo che per sapere il rango dovevo contare il numero di righe non tutte nulle...ricordavo male io?
$( ( 2 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 2 ) ) $
Per evitare di riscrivere ogni volta le varie matrici per la riduzione permettetemi di scrivere solo le formule
$R'_2=2R_2-R_1$
$R'_3=2R_3-R_1$
$R'_4=2R_4-R_1$
Successivamente ho fatto un'altra riduzione $R''_3=R'_3+R'2$
Al che mi è spuntata fuori questa matrice
$( ( 2 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , -2 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 2),( 0 , 0 , 0 , 3 ) ) $
Che è ridotta (?? mi sta venendo anche a me ora il dubbio xD) ma ha Rango 4....cosa sbaglio?
***Piccolo Edit***
Spulciando un po' ho trovato un utente che diceva "Per sapere il rango della matrice bisogna contare, nella matrice ridotta, il numero degli elementi della diagonale principale non nulli". Ma io ricordavo che per sapere il rango dovevo contare il numero di righe non tutte nulle...ricordavo male io?
Risposte
CIao,
diciamo che avete ragione entrambi... Il modo più semplice è quello di contare i pivot (elementi sulla diagonale) non nulli. Altrimenti puoi anche contare le righe non nulle ma devi tenere presente che la terza e la quarta riga sono linearmente dipendenti, quindi sicuramente esiste un'operazione di riga che ti permette di annullare una delle due. A questo punto ti restano tre righe non nulle.
In conclusione, il rango è $3$.
P.S. Puoi anche contare le colonne non nulle, stando attento al fatto che la seconda e la terza sono linearmente dipendenti. Quindi, ancora, il rango è $3$.
diciamo che avete ragione entrambi... Il modo più semplice è quello di contare i pivot (elementi sulla diagonale) non nulli. Altrimenti puoi anche contare le righe non nulle ma devi tenere presente che la terza e la quarta riga sono linearmente dipendenti, quindi sicuramente esiste un'operazione di riga che ti permette di annullare una delle due. A questo punto ti restano tre righe non nulle.
In conclusione, il rango è $3$.
P.S. Puoi anche contare le colonne non nulle, stando attento al fatto che la seconda e la terza sono linearmente dipendenti. Quindi, ancora, il rango è $3$.
dalla matrice del testo.. eseguo i passaggi
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 2 & -2 & -1 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1/2 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
ora faccio $ 1/2 R2 $
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & -1 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1 & 1/2 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
come noti ora hai 2 righe uguali.. ok ne si toglie una..
così avrai una riga tutta fatta di zeri.. puoi metterla in ultimo posto.. poi se vuoi fai qualche altra operazione..
infine a me risulta..
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & -1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 3/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
si vede subito che il rango è 3
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 2 & -2 & -1 \\ 1 & - 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 2 & -2 & -1 \\ 0 & 1 & -1 & 1/2 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
ora faccio $ 1/2 R2 $
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & -1 & -1/2 \\ 0 & 1 & -1 & 1/2 \\ 1 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)
come noti ora hai 2 righe uguali.. ok ne si toglie una..
così avrai una riga tutta fatta di zeri.. puoi metterla in ultimo posto.. poi se vuoi fai qualche altra operazione..
infine a me risulta..
\( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & -1 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 3/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
si vede subito che il rango è 3
Grazie per le risposte ragazzi 
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