Riduzione di una matrice

[cardillo1]

salve a tutti! intanto buon anno! non sono riuscita a capire se c'è un metodo particolare da adottare quando ci si accinge a ridurre a scala una matrice, ogni volta faccio una marea di passaggi e il più delle volte non raggiungo neppure lo scopo :( avete qualche consiglio? grazie mille

[Alxxx28]

Per quale scopo vuoi ridurre a scala la matrice? Per calcolare il rango?
A volte infatti, proprio per il motivo che dicevi sui passaggi, la riduzione a scala non è il metodo ottimale.

[cardillo1]

si è per il rango principalmente, dalla raccolta degli esercizi del prof ho visto che gli piace molto utilizzare questo metodo, il problema è che ogni volta c'è scritto "e riducendo si ottiene la seguente matrice" ma non ci sono mai i passaggi

[Alxxx28]

Se fai una ricerca trovi sicuramente qualche post sul metodo di eliminazione di Gauss-jordan, che attraverso operazioni elementari sulle righe di una matrice, ti permette di ottenere una matrice a scala.
Ma in alcuni casi conviene ricavare il rango attraverso il determinante della matrice, se questa è quadrata.
Non so se conosci il concetto di determinante, comunque se $A \in M_n$, allora $r(A)=n \iff det(A) \ne 0$
Se invece hai una matrice rettangolare applichi il principio dei minori orlati.

[cardillo1]

grazie almeno so su cosa orientarmi

[dissonance]

@Alxxx: In realtà il metodo di eliminazione è sempre computazionalmente più efficiente di qualsiasi metodo basato sui determinanti. L'unico vantaggio dei determinanti è che a volte si riescono a calcolare "a vista", eliminando i calcoli, ma nessun programmatore li implementerebbe mai su un computer a meno che non sia stato pagato dal cartello IBM-Microsoft! Se ci pensi infatti calcolare un determinante richiede una marea di conti: $n*n!$ per una matrice $n \times n$. Invece ridurre a scala richiede qualcosa dell'ordine di $n^3$ operazioni: confronta la differenza già per $n=6$.

Per quanto riguarda il metodo di eliminazione ci sono degli ottimi esercizi sugli appunti della Carrara:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#387988

(vedere pag.62-63-...)

[cardillo1]

:)