Riduzione a scalini di una matrice con parametro
Ciao a tutti, sto impazzendo su queste due matrici con parametri, ogni volta che cerco di calcolare il rango al variare di h mi esce sempre qualcosa di diverso e non so dove sbattere la testa, spero che qualche anima gentile abbia voglia di provare a svolgere i calcoli e magari due occhi nuovi vedono semplificazioni che io non riesco a vedere,premetto che la teoria sulla riduzione a scalini e sull'algoritmo di Gauss l'ho fatta mia nel senso che migliaia di altri esercizi mi tornano ma questi due no 
$ ((h,0,3-h,0),( 2,4,0,1+h),( -2, -2,2, - 2),( 1-h, 0,0, 2))$
$ ((h,0,0),( 2,4,1+h),( -2, -2, - 2),( 1-h, 0, 2))$
ringrazio chiunque voglia aiutarmi
( ovviamente lo scopo dell'esercizio è trova il rango al variare di h)
$ ((h,0,3-h,0),( 2,4,0,1+h),( -2, -2,2, - 2),( 1-h, 0,0, 2))$
$ ((h,0,0),( 2,4,1+h),( -2, -2, - 2),( 1-h, 0, 2))$
ringrazio chiunque voglia aiutarmi
( ovviamente lo scopo dell'esercizio è trova il rango al variare di h)
Risposte
Almeno qui provo aiutarti ( nella prima) anche se da regolamento dovresti proporre almeno un tuo tentativo, ma dato che sei da poco qui te la passo ,allora:
Applico Gauss e mi esce;:
$((2,4,0,1+h) ,(0,2,-2,h-1), (0,0,\frac{-2h-6}{h},h-3),(0,0,0,\frac{h(3-h)}{1-h}))$
Quindi :
Il rango al massimo può essere 3 e lo è quando c'è almeno un altro pivot oltre a $p_1=2 $ e $p_2= 2$
Da qui si hanno 3 casi:
$1) h \ne {-3 \wedge 0} $
$2) h \ne { 0\wedge 3)$
$ 3)h \ne { 0 \wedge 3 \wedge 1 } $
Rango 2 quando non ci sono pivots oltre a p1 e p2:
Per $h= 3 $ ed $h =0$
EDIT : correzioni di alcune soluzioni.
Applico Gauss e mi esce;:
$((2,4,0,1+h) ,(0,2,-2,h-1), (0,0,\frac{-2h-6}{h},h-3),(0,0,0,\frac{h(3-h)}{1-h}))$
Quindi :
Il rango al massimo può essere 3 e lo è quando c'è almeno un altro pivot oltre a $p_1=2 $ e $p_2= 2$
Da qui si hanno 3 casi:
$1) h \ne {-3 \wedge 0} $
$2) h \ne { 0\wedge 3)$
$ 3)h \ne { 0 \wedge 3 \wedge 1 } $
Rango 2 quando non ci sono pivots oltre a p1 e p2:
Per $h= 3 $ ed $h =0$
EDIT : correzioni di alcune soluzioni.
Grazie sei molto gentile,io in realtà ho svolto i calcoli ma non li ho messi solo per non influenzare i vostri di calcoli 
perchè in realtà a me viene nel primo caso che sempre indipendentemente da h il rnk=3 e nel secondo caso idem
perchè in realtà a me viene nel primo caso che sempre indipendentemente da h il rnk=3 e nel secondo caso idem
"kikkina0909":
Grazie sei molto gentile,io in realtà ho svolto i calcoli ma non li ho messi solo per non influenzare i vostri di calcoli
Hai riprovato a vedere con Gauss?? Magari ho sbagliato qualcosa io che andavo di fretta. Quindi misa' che mi sono impicciato con tutti quegli h..intanto ricontrolla se con Gauss ti viene la stessa cosa oppure posta ciò che ti viene...
Ecco ora credo sia tutto giusto xD.
Grazie mille veramente,erano due valori che effettivamente avevo trovato nell'n-sima volta che avevo fatto gauss,ma io non divido per h perchè se no devo imporre per forza h diverso da zero,ma non volevo spingermi troppo e assumere qualcosa che invece dovrei verificare.
p.s. oltretutto ho provato sia con il criterio dei minori orlati anche se non so se è corretto nel caso della matrice non quadrata e anche con wolfram che oltretutto,sostituendo i valori di h trovati mi da sempre rnk=4 O_O grazie comunque domani mattina a mente lucida ci ragiono,la cosa tremenda è che non è neanche l'esercizio più difficle,ora sto combattendo con il trovare un prodotto scalare
grazie ancora e buona serata
p.s. oltretutto ho provato sia con il criterio dei minori orlati anche se non so se è corretto nel caso della matrice non quadrata e anche con wolfram che oltretutto,sostituendo i valori di h trovati mi da sempre rnk=4 O_O grazie comunque domani mattina a mente lucida ci ragiono,la cosa tremenda è che non è neanche l'esercizio più difficle,ora sto combattendo con il trovare un prodotto scalare
grazie ancora e buona serata
"kikkina0909":
Grazie mille veramente,erano due valori che effettivamente avevo trovato nell'n-sima volta che avevo fatto gauss,ma io non divido per h perchè se no devo imporre per forza h diverso da zero,ma non volevo spingermi troppo e assumere qualcosa che invece dovrei verificare.
p.s. oltretutto ho provato sia con il criterio dei minori orlati anche se non so se è corretto nel caso della matrice non quadrata e anche con wolfram che oltretutto,sostituendo i valori di h trovati mi da sempre rnk=4 O_O grazie comunque domani mattina a mente lucida ci ragiono,la cosa tremenda è che non è neanche l'esercizio più difficle,ora sto combattendo con il trovare un prodotto scalare
grazie ancora e buona serata
Che Wolfram sbagli è strano ( anche se non sono molto bravo ad usarlo) che dia rango 4 è impossibile xD,comunque si anch'io odio mettere h al denominatore, ma è che ancora non so fare bene il determinante e a quanto ne so più aumentano righe e colonne più è una rottura, dovresti usare Lagrange e cercare di orlare un minore e vedere per quali h ti tende a zero,comunque in sé non è difficile come esercizio il problema è star dietro ai calcoli,inoltre io faccio fisica ed ho un attaccamento personale al buon Gauss.
Per il resto se qualcosa non ti torna fai un fischio.
Si spera che giunga anche qualche Big a confermare/smentire/insultare
Ciao a tutti, prendo la seconda matrice: $((h, 0, 0), (2, 4, 1+h), (-2, -2, -2), (1-h, 0, 2))$. Essendo una $4xx3$ si sa che il massimo rango possibile sarà $3$. Si nota subito però che esiste il minore $((-2, -2), (0, 2))$ che è invertibile $AA h$, quindi il rango di questa matrice è come minimo $2$. Per vedere quando è $3$ orliamo questo minore e otteniamo:
$((2, 4, 1+h), (-2, -2, -2), (1-h, 0, 2))$ e $((h, 0, 0), (-2, -2, -2), (1-h, 0, 2))$.
Troviamo i due determinanti, ad esempio con Sarrus, che vengono $-2h^2+8h+2$ e $-4h$. Il primo si annulla per $h = 2 +- sqrt5$ mentre il secondo per $h=0$. Si nota quindi che non esiste nessun valore di $h$ che li annulla entrambi contemporaneamente, quindi ne esiste sempre almeno uno invertibile. Si conclude che il rango di questa matrice è $3, AA h in RR$.
Si può procedere in modo analogo anche per la prima matrice.
Non so se sono Big abbastanza ma spero di aver fatto un po' più di chiarezza!
$((2, 4, 1+h), (-2, -2, -2), (1-h, 0, 2))$ e $((h, 0, 0), (-2, -2, -2), (1-h, 0, 2))$.
Troviamo i due determinanti, ad esempio con Sarrus, che vengono $-2h^2+8h+2$ e $-4h$. Il primo si annulla per $h = 2 +- sqrt5$ mentre il secondo per $h=0$. Si nota quindi che non esiste nessun valore di $h$ che li annulla entrambi contemporaneamente, quindi ne esiste sempre almeno uno invertibile. Si conclude che il rango di questa matrice è $3, AA h in RR$.
Si può procedere in modo analogo anche per la prima matrice.
"Ariz93":
Si spera che giunga anche qualche Big a confermare/smentire/insultare
Non so se sono Big abbastanza ma spero di aver fatto un po' più di chiarezza!
Già che ci sono posto anche la soluzione della prima: $((h, 0, 3-h, 0), (2, 4, 0, 1+h), (-2, -2, 2, -2), (1-h, 0, 0, 2))$.
Dato che è quadrata direi che forse conviene partire dal determinante per vedere quando il rango è massimo e poi cosa succede quando invece non lo è.
Calcolo il determinante e viene $2h^3 - 14h^2 + 38h + 6$ che si annulla per $h=-0.149486...$
Quindi se $h$ è diverso da quel valore il rango è $4$ mentre se $h=-0.149486...$ il rango è $3$ poichè si nota il minore
$((2, 4, 0), (-2, -2, 2), (1-h, 0, 0))$ il cui determinante non si annulla di certo per quel valore.
Dato che è quadrata direi che forse conviene partire dal determinante per vedere quando il rango è massimo e poi cosa succede quando invece non lo è.
Calcolo il determinante e viene $2h^3 - 14h^2 + 38h + 6$ che si annulla per $h=-0.149486...$
Quindi se $h$ è diverso da quel valore il rango è $4$ mentre se $h=-0.149486...$ il rango è $3$ poichè si nota il minore
$((2, 4, 0), (-2, -2, 2), (1-h, 0, 0))$ il cui determinante non si annulla di certo per quel valore.
Si grazie mille, osservando i passaggi che hai fatto proverò la prima 
(aspetto prima però che lo faccia la ragazza almeno poi ci si confronta) ,provo tra un po di giorni che ora analisi m'aspetta,grazie minomic.
Ps: nessuno è big abbastanza!! Ci sarà sempre un problema troppo difficile ma non per questo non superabile.
Pps: chiarissimo.
(aspetto prima però che lo faccia la ragazza almeno poi ci si confronta) ,provo tra un po di giorni che ora analisi m'aspetta,grazie minomic.Ps: nessuno è big abbastanza!! Ci sarà sempre un problema troppo difficile ma non per questo non superabile.
Pps: chiarissimo.
"minomic":
Già che ci sono imposto anche la prima: $((h, 0, 3-h, 0), (2, 4, 0, 1+h), (-2, -2, 2, -2), (1-h, 0, 0, 2))$.
Dato che è quadrata direi che forse conviene partire dal determinante per vedere quando il rango è massimo e poi cosa succede quando invece non lo è.
Calcolo il determinante e viene $2h^3 - 14h^2 + 38h + 6$ che si annulla per $h=-0.149486...$
Quindi se $h$ è diverso da quel valore il rango è $4$ mentre se $h=-0.149486...$ il rango è $3$ poichè si nota il minore
$((2, 4, 0), (-2, -2, 2), (1-h, 0, 0))$ il cui determinante non si annulla di certo per quel valore.
Si allora ho toppato alla grande xD ..scusate è l'ora e Gauss non perdona errori . Grazie ancora.
"Ariz93":
Si grazie mille, osservando i passaggi che hai fatto proverò la prima
Ps: nessuno è big abbastanza!! Ci sarà sempre un problema troppo difficile ma non per questo non superabile.
Pps: chiarissimo.
Ok ho messo la soluzione sotto spoiler!
"minomic":
[quote="Ariz93"]Si grazie mille, osservando i passaggi che hai fatto proverò la prima
Ps: nessuno è big abbastanza!! Ci sarà sempre un problema troppo difficile ma non per questo non superabile.
Pps: chiarissimo.
Ok ho messo la soluzione sotto spoiler!
[/quote]
"Ariz93":
[quote="minomic"][quote="Ariz93"]Si grazie mille, osservando i passaggi che hai fatto proverò la prima
Ps: nessuno è big abbastanza!! Ci sarà sempre un problema troppo difficile ma non per questo non superabile.
Pps: chiarissimo.
Ok ho messo la soluzione sotto spoiler!
[/quote][/quote]No niente, ho tolto lo spoiler perchè mi sballava l'impaginazione "formule + testo".
Tranquillo tanto non ci trovo gusto a leggere le soluzioni di cose che posso fare senza guardarle.
Ciao grazie siete gentilissimi,allora:mi correggo con ariz93,wolfram dava per quella 4X4 il rnk=4 ma avendoci messo dentro h penso che abbia fatto un po di confusione, allora per quanto riguarda i risultati ho provato anche col criterio dei minori orlati per quella 4X3 ed effettivamente sono arrivata alle stesse conclusioni ovvero per ogni h la matrice ha rnk=3,per la seconda quella 4x4 ho paura che ci sia qualcosa di sbagliato,mi spiego meglio anchio ho trovato quel determinante,ma vedete io faccio Fisica,e sono certa che la professoressa abbia creato la matrice in modo da farmi tornare degli h interi, infatti la matrice 4x4 era collegata ad un esercizio in cui la matrice rappresenta l'immagine di una applicazione e mi si chiede per quali h tale immagine è isomorfa ad uno spazio di dimensione 2,domanda a cui risponderei per nessun h,ma vi dico di solito lei è molto precisa su queste cose,quindi oggi riproverò a rifare tutto da capo e vediamo se salta fuori qualche valore diverso,comunque
grazie veramente mi avete confermato che allora le cose le posso fare anchio io e non è che sono una tonta,grazie grazie grazie!!!
ma avendoci messo dentro h penso che abbia fatto un po di confusione, allora per quanto riguarda i risultati ho provato anche col criterio dei minori orlati per quella 4X3 ed effettivamente sono arrivata alle stesse conclusioni ovvero per ogni h la matrice ha rnk=3,per la seconda quella 4x4 ho paura che ci sia qualcosa di sbagliato,mi spiego meglio anchio ho trovato quel determinante,ma vedete io faccio Fisica,e sono certa che la professoressa abbia creato la matrice in modo da farmi tornare degli h interi, infatti la matrice 4x4 era collegata ad un esercizio in cui la matrice rappresenta l'immagine di una applicazione e mi si chiede per quali h tale immagine è isomorfa ad uno spazio di dimensione 2,domanda a cui risponderei per nessun h,ma vi dico di solito lei è molto precisa su queste cose,quindi oggi riproverò a rifare tutto da capo e vediamo se salta fuori qualche valore diverso,comunquegrazie veramente mi avete confermato che allora le cose le posso fare anchio io e non è che sono una tonta,grazie grazie grazie!!!
"kikkina0909":
grazie grazie grazie!!!
Di nulla! Poi facci sapere se scopri qualcosa!
E di che!! Ho sbagliato tutto alla fine!( confesso che sono un po arrugginito con Gauss ma la cosa migliore era fare il detminante
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