Riduzione a forma canonica quadriche con metodi non matriciali?

[Mimmo931]

Sia data la quadrica $ x^2+(y+z−1)^2−(y−z+3)^2−4x = 0$, dire a quale classe di quadriche appartiene, determinando a quale equazione canonica puo' essere ricondotta con metodi elementari non matriciali.
Nella risoluzione scrive:
Nell’equazione della quadrica, dopo l’abbinamento x^2−4x = x^2−4x+4−4 = (x−2)^2−4, bisogna resistere all’impulso di sviluppare i quadrati in quanto è meglio porre X =x, Y =(y+z−1)/√2, Z =(y−z+3)/√2 per avere un cambiamento di riferimento cartesiano (la matrice E delle x,y,z ha colonne normalizzate con la divisione per√2 e già ortogonali) che dà l’equazione quasi canonica X^2+2Y^2−2Z^2−4=0 e poi con facili passaggi algebrici si passa ad un’equazione canonica $X^2/a^2 + Y^2/b^2 − Z^2/c^2 = 1$.
Quello che voglio sapere io quale sarebbe la matrice E delle x,y,z scritta esplicitamente?

[Martino]

Sarebbe stata [tex]E = \left( \begin{array}{cccc} -8 & -2 & -4 & 2 \\ -2 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 0 \end{array} \right)[/tex]. Corrisponde all'equazione scritta nella forma $x^2+4yz-8y+4z-4x-8=0$. Sulla diagonale ci sono i termini in $1$, $x^2$, $y^2$, $z^2$, fuori dalla diagonale ci sono i termini misti divisi per due.