Riduzione a forma canonica di forma quadratica
Ciao a tutti, sono uno studente di Ing dell'informazione a padova, mi siete stati di grande aiuto diverse volte ma è giunto il tempo del mio primo intervento 
Devo ridurre a forma canonica la seguente forma quadratica $ f(x,y,z) = 5x^2-y^2+ z^2 + 4xy + 6xz $
Seguo passo passo la dimostrazione nel mio libro: scrivo la matrice associata S $ ( ( 5 , 2 , 3 ),( 2 , -1 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) ) $ , trovo gli autovalori e una base ortonormale di $ R^3 $ formata da autovettori di S (basta ortonormalizzare le basi degli autospazi). La matrice ortogonale Q lungo le cui colonne vengono ricopiati tali autovettori è una delle matrici che diagonalizzano S.
Gli autovalori sono $0, -2, 7$, i relativi autospazi sono $ <(1,2,-3)>, <(1,-2,-1)>, <(4,1,2)> $ e ortonormalizzandoli otteniamo $ <(1/sqrt(14),2/sqrt(14),-3/sqrt(14))>, <(-1/sqrt(6),2/sqrt(6),1/sqrt(6))>, <(4/sqrt(21),1/sqrt(21),2/sqrt(21))>$ che messe a colonna ci danno la matrice Q.
Da qui in poi non so più come muovermi, ossia scrivere sta benedetta forma canonica... Se servisse, posso copiare il resto della dimostrazione dal mio libro, grazie a chiunque risponderà!
Devo ridurre a forma canonica la seguente forma quadratica $ f(x,y,z) = 5x^2-y^2+ z^2 + 4xy + 6xz $
Seguo passo passo la dimostrazione nel mio libro: scrivo la matrice associata S $ ( ( 5 , 2 , 3 ),( 2 , -1 , 0 ),( 3 , 0 , 1 ) ) $ , trovo gli autovalori e una base ortonormale di $ R^3 $ formata da autovettori di S (basta ortonormalizzare le basi degli autospazi). La matrice ortogonale Q lungo le cui colonne vengono ricopiati tali autovettori è una delle matrici che diagonalizzano S.
Gli autovalori sono $0, -2, 7$, i relativi autospazi sono $ <(1,2,-3)>, <(1,-2,-1)>, <(4,1,2)> $ e ortonormalizzandoli otteniamo $ <(1/sqrt(14),2/sqrt(14),-3/sqrt(14))>, <(-1/sqrt(6),2/sqrt(6),1/sqrt(6))>, <(4/sqrt(21),1/sqrt(21),2/sqrt(21))>$ che messe a colonna ci danno la matrice Q.
Da qui in poi non so più come muovermi, ossia scrivere sta benedetta forma canonica... Se servisse, posso copiare il resto della dimostrazione dal mio libro, grazie a chiunque risponderà!
Risposte
$((1/sqrt(14),-1/sqrt(6),4/sqrt(21)),(2/sqrt(14),2/sqrt(6),1/sqrt(21)),(-3/sqrt(14),1/sqrt(6),2/sqrt(21)))^t((5,2,3),(2,-1,0),(3,0,1))((1/sqrt(14),-1/sqrt(6),4/sqrt(21)),(2/sqrt(14),2/sqrt(6),1/sqrt(21)),(-3/sqrt(14),1/sqrt(6),2/sqrt(21)))$
Così ottengo la matrice diagonale che ha sulla diagonale gli autovettori di S...
...gli autovalori di S...appunto.
Sì gli autovalori scusa, ma quelli li avevo già trovati fin dall'inizio! Finisco la dimostrazione così com'è spiegata nel libro
$Q^-1SQ=Q^tSQ=ddots$
considerata la matrice $Y=Q^tX$ risulta $X=QY$, pertanto $ X^tSX=Y^tQ^tSQY=Y^t ddots Y $= la mia tanto cercata forma canonica
Son convinto che alla fine sia una cavolata, ma proprio non riesco a concludere 'sto esercizio
$Q^-1SQ=Q^tSQ=ddots$
considerata la matrice $Y=Q^tX$ risulta $X=QY$, pertanto $ X^tSX=Y^tQ^tSQY=Y^t ddots Y $= la mia tanto cercata forma canonica
Son convinto che alla fine sia una cavolata, ma proprio non riesco a concludere 'sto esercizio
Sei sicuro di aver capito quello che ho scritto?
Perdonami ma, no. Che me ne faccio degli autovalori? Li ho usati all'inizio per ottenere la matrice ortogonale Q, penso valga più di mille parole la soluzione (se non comporta troppi calcoli) 
Certo, fare quel prodotto di matrici può essere considerato inutile, visto che già sappiamo il risultato finale. Questo non toglie che un esercizio possa chiedere di fare i conti esplicitamente per determinare la matrice diagonale. Se invece devi determinare la trasformazione ortogonale che rende quel servizio, allora devi calcolare $Y=Q^tX$, $Q$ è la matrice che ho scritto più a destra. Stai facendo un esercizio o studiando la teoria?
E' un esercizio, la riduzione a forma canonica della quadratica sopra citata.
L'insegnante purtroppo non ha spiegato nulla al riguardo quindi sto cercando di seguire il procedimento così com'è spiegato nel libro, ti faccio vedere
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Come ho scritto trovata Q mi blocco, non capisco come trovare la soluzione :\
L'insegnante purtroppo non ha spiegato nulla al riguardo quindi sto cercando di seguire il procedimento così com'è spiegato nel libro, ti faccio vedere
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Come ho scritto trovata Q mi blocco, non capisco come trovare la soluzione :\
L'esercizio potrebbe essere considerato concluso una volta determinata la matrice ortogonale. Altrimenti, puoi fare quel prodotto matriciale che ti avevo indicato per determinare la matrice diagonale esplicitamente e scrivere le equazioni della trasformazione di coordinate, una rotazione, che ti permette di ridurre la forma quadratica in forma canonica. Cos'altro vorresti fare? Stai per caso procedendo a memoria?
Ecco appunto, le equazioni di trasformazione delle coordinate sarebbe il sistema (2)? Che sostituendo nella (1) mi dà la forma canonica?
Sto cercando di interpretare quel procedimento, un po' di prolissità e teoria in più per capire meglio non mi darebbero fastidio
Sto cercando di interpretare quel procedimento, un po' di prolissità e teoria in più per capire meglio non mi darebbero fastidio
Appena posso ti mando un bel post, non in quel post, che hai capito! 
Rimango in trepidante attesa allora, grazie mille
Rappresentazione iniziale della forma quadratica:
$((x,y,z))((5,2,3),(2,-1,0),(3,0,1))((x),(y),(z))$
Ridurre la forma quadratica in forma canonica significa determinare una trasformazione di coordinate del tipo:
$((x),(y),(z))=((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))((x_1),(y_1),(z_1))$
$((x,y,z))=((x_1,y_1,z_1))((a,d,g),(b,e,h),(c,f,i))$
tale che la rappresentazione della forma quadratica nelle nuove coordinate sia diagonale:
$((x_1,y_1,z_1))((\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_3))((x_1),(y_1),(z_1))$
Allora, sostituendo nella rappresentazione iniziale:
$((x_1,y_1,z_1))((a,d,g),(b,e,h),(c,f,i))((5,2,3),(2,-1,0),(3,0,1))((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))((x_1),(y_1),(z_1))$
si comprende quale condizione debba essere verificata:
$((a,d,g),(b,e,h),(c,f,i))((5,2,3),(2,-1,0),(3,0,1))((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))=((\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_3))$
Ricordando la teoria della diagonalizzazione di una matrice simmetrica, si comprende come la matrice che determina la trasformazione di coordinate sia proprio quella costruita con gli autovettori della matrice simmetrica medesima. Siccome la matrice costruita con gli autovettori può sempre essere scelta ortogonale, risultato di quella teoria, la trasformazione di coordinte associata risulta una rotazione. Nel tuo caso:
$((1/sqrt(14),-1/sqrt(6),4/sqrt(21)),(2/sqrt(14),2/sqrt(6),1/sqrt(21)),(-3/sqrt(14),1/sqrt(6),2/sqrt(21)))^t((5,2,3),(2,-1,0),(3,0,1))((1/sqrt(14),-1/sqrt(6),4/sqrt(21)),(2/sqrt(14),2/sqrt(6),1/sqrt(21)),(-3/sqrt(14),1/sqrt(6),2/sqrt(21)))$
Non mi sembra molto diverso da quello che trovi in quelle pagine, in ogni modo spero ti aiuti a capire meglio.
$((x,y,z))((5,2,3),(2,-1,0),(3,0,1))((x),(y),(z))$
Ridurre la forma quadratica in forma canonica significa determinare una trasformazione di coordinate del tipo:
$((x),(y),(z))=((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))((x_1),(y_1),(z_1))$
$((x,y,z))=((x_1,y_1,z_1))((a,d,g),(b,e,h),(c,f,i))$
tale che la rappresentazione della forma quadratica nelle nuove coordinate sia diagonale:
$((x_1,y_1,z_1))((\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_3))((x_1),(y_1),(z_1))$
Allora, sostituendo nella rappresentazione iniziale:
$((x_1,y_1,z_1))((a,d,g),(b,e,h),(c,f,i))((5,2,3),(2,-1,0),(3,0,1))((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))((x_1),(y_1),(z_1))$
si comprende quale condizione debba essere verificata:
$((a,d,g),(b,e,h),(c,f,i))((5,2,3),(2,-1,0),(3,0,1))((a,b,c),(d,e,f),(g,h,i))=((\lambda_1,0,0),(0,\lambda_2,0),(0,0,\lambda_3))$
Ricordando la teoria della diagonalizzazione di una matrice simmetrica, si comprende come la matrice che determina la trasformazione di coordinate sia proprio quella costruita con gli autovettori della matrice simmetrica medesima. Siccome la matrice costruita con gli autovettori può sempre essere scelta ortogonale, risultato di quella teoria, la trasformazione di coordinte associata risulta una rotazione. Nel tuo caso:
$((1/sqrt(14),-1/sqrt(6),4/sqrt(21)),(2/sqrt(14),2/sqrt(6),1/sqrt(21)),(-3/sqrt(14),1/sqrt(6),2/sqrt(21)))^t((5,2,3),(2,-1,0),(3,0,1))((1/sqrt(14),-1/sqrt(6),4/sqrt(21)),(2/sqrt(14),2/sqrt(6),1/sqrt(21)),(-3/sqrt(14),1/sqrt(6),2/sqrt(21)))$
Non mi sembra molto diverso da quello che trovi in quelle pagine, in ogni modo spero ti aiuti a capire meglio.
mi sfuggiva il passaggio della trasformazione di coordinate, grazie
Lo avevo intuito, prego.
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