Ricoprimento numerabile varietà

[DavideGenova1]

Ciao, ragazzi! Nella dimostrazione del teorema per cui, se $f:X\to Y$ è un morfismo di varietà differenziabili con \(n=\dim(X)<\dim(Y)=m\), allora $f(X)$ è un sottoinsieme di misura nulla di $Y$ il mio libro dice che "poiché $X$ e $Y$ sono a base numerabile [com'è nella definizione di varietà differenziabile], possiamo trovare un ricoprimento numerabile \(\{U_i\}_{i\in I}\) di $X$ costituito da aperti diffeomorfi a aperti di \(\mathbb{R}^n\) e un ricoprimento numerabile \(\{V_i\}_{i\in I}\) di $Y$ costituito da aperti diffeomorfi a aperti di \(\mathbb{R}^m\) e tali che \(f(U_i)\subset V_i\)".
Per definizione di varietà differenziabile $X$ e $Y$ hanno appunto un ricoprimento numerabile e sempre per definizione hanno un ricoprimento di aperti diffeomorfi ad aperti di \(\mathbb{R}^n\) e rispettivamente \(\mathbb{R}^m\), che sono poi aperti associati alle carte del loro atlante differenziabile.
Ma forse è vero che ogni varietà differenziabile possiede un atlante numerabile?
In caso contrario, come faccio a scegliere questi \(\{U_i\}_{i\in I}\) e \(\{V_i\}_{i\in I}\) perché siano come dice l'autore del mio testo?
Grazie di cuore a chi mi chiarirà questo dubbio...

[DavideGenova1]

Mi sa che ogni atlante di una varietà a base numerabile possiede un sottoatlante numerabile...

EDIT: Credo proprio di sì: ho trovato in Internet il teorema di Lindelöf, ma il mio libro non lo riporta, almeno non fino al punto dove sono arrivato...

[dissonance]

Senti Davide scusa se divago un attimo. Sei sicuro di stare facendo una lettura proficua? Ora non sei più alle prese con la matematica di base e ti stai impelagando in sottili questioni tecniche note più che altro agli esperti del settore. Il libro che hai in mano non si legge come un romanzo; a parte forse i primi capitoli, è pensato come una cassetta degli attrezzi da cui uno attinge ciò che gli serve.

Nello specifico, riflettere sull'atlante numerabile di una varietà mi pare cosa adatta al professionista portato dalle circostanze a studiare varietà non compatte, non a te. Tutte le idee fondamentali si studiano sulle varietà compatte, dove sono più chiare e comprensibili. Analogo discorso vale per la classe $C^1$ o $C^\infty$. Sono dettagli tecnici con cui uno cerca di avere meno possibile a che fare, in modo da capire il quadro generale e non "perdere di vista la foresta per guardare gli alberi". Tu invece ti butti a capofitto nei dettagli tecnici il che non mi pare la strategia migliore.

Potrebbe essere una idea migliore seguire un corso di livello universitario. Potresti imparare molto meglio se qualcuno che conosce già le cose ti fa da Cicerone. E poi in matematica confrontarsi con gli altri è fondamentale, molto più importante del chiudersi in casa a tu per tu con un libro.

[DavideGenova1]

"dissonance":Potrebbe essere una idea migliore seguire un corso di livello universitario. Potresti imparare molto meglio se qualcuno che conosce già le cose ti fa da Cicerone. E poi in matematica confrontarsi con gli altri è fondamentale, molto più importante del chiudersi in casa a tu per tu con un libro.

Di quante cose ti sono debitore, dissonance, non ultimi i tuoi consigli...
In effetti il corso universitario è un'ipotesi che si sta facendo sempre più intenzione in me, solo che preferisco farmi una base prima di dover passare ere geologiche a pagare tasse universitarie, dato che lavoro e famiglia non mi lasciano moltissimo tempo...