Riconoscimento spazio vett. e sottospazio vett. e un esercizio
Ciao ragazzi,
il procedimento per individuare uno spazio vettoriale è il medesimo di quello per individuare un sottospazio vettoriale?
(quindi verificare che sia chiuso rispetto a somma, prodotto con scalare e poi la condizione necessaria).
inoltre, il seguente esercizio
Riconoscere se il seguente insieme costituisce uno spazio vettoriale. In caso
affermativo trovarne la dimensione e una base. (Rn[x] denota lo spazio dei
polinomi nell'indeterminata x a coefficienti reali, di grado al più n
1) f(x; y; z) appartenente a R3 : x + 2y + z = 0
per ricavare la base posso scrivere il vettore generico e (-b-c,b,c) e raccogliere b e c in modo tale da ottenere i due vettori (-1,1,0) e (-1,0,1) che formano una base?
2) f(ax2 + bx + c)appartenente a R2[x] : 2a + 3b = 0
come farei invece in questo caso?
grazie in anticipo
il procedimento per individuare uno spazio vettoriale è il medesimo di quello per individuare un sottospazio vettoriale?
(quindi verificare che sia chiuso rispetto a somma, prodotto con scalare e poi la condizione necessaria).
inoltre, il seguente esercizio
Riconoscere se il seguente insieme costituisce uno spazio vettoriale. In caso
affermativo trovarne la dimensione e una base. (Rn[x] denota lo spazio dei
polinomi nell'indeterminata x a coefficienti reali, di grado al più n
1) f(x; y; z) appartenente a R3 : x + 2y + z = 0
per ricavare la base posso scrivere il vettore generico e (-b-c,b,c) e raccogliere b e c in modo tale da ottenere i due vettori (-1,1,0) e (-1,0,1) che formano una base?
2) f(ax2 + bx + c)appartenente a R2[x] : 2a + 3b = 0
come farei invece in questo caso?
grazie in anticipo
Risposte
"elpuntazza":
Ciao ragazzi,
il procedimento per individuare uno spazio vettoriale è il medesimo di quello per individuare un sottospazio vettoriale?
(quindi verificare che sia chiuso rispetto a somma, prodotto con scalare e poi la condizione necessaria).
La verifica di sottospazio vettoriale è ridotta a tre condizioni (insieme non vuoto[nota]Deve contenere almeno il vettore nullo (condizione necessaria ma non sufficiente!).[/nota], chiusura rispetto alla sottrazione e alla moltiplicazione per uno scalare; mentre per gli spazzi vettoriale le condizioni sono maggiori.
"elpuntazza":
1) $f(x; y; z)$ appartenente a $RR^3 : x + 2y + z = 0$
per ricavare la base posso scrivere il vettore generico e $(-b-c, b, c)$ e raccogliere $b$ e $c$ in modo tale da ottenere i due vettori $(-1,1,0),(-1,0,1) $ che formano una base?
La soluzione del sistema è $((-2y-z), (y), (z))=y((-2), (1), (0))+z ((-1),(0),(1))$
grazie mille per la risposta!
scusami avevo fatto un errore di calcolo. Ho ancora 3 domandine:
1)come mai deve essere chiuso rispetto alla sottrazione? non doveva essere chiuso rispetto all'addizione?
2) quindi il procedimento coincide con quello per individuare i sottospazi vettoriali giusto?
3) ma quindi f(ax2 + bx + c)appartenente a R2[x] : 2a + 3b = 0 come farei a risolverla? nel senso, sono un po' turbato dalla forma ax^2 +bx+ c..
buona serata
ale
scusami avevo fatto un errore di calcolo. Ho ancora 3 domandine:
1)come mai deve essere chiuso rispetto alla sottrazione? non doveva essere chiuso rispetto all'addizione?
2) quindi il procedimento coincide con quello per individuare i sottospazi vettoriali giusto?
3) ma quindi f(ax2 + bx + c)appartenente a R2[x] : 2a + 3b = 0 come farei a risolverla? nel senso, sono un po' turbato dalla forma ax^2 +bx+ c..
buona serata
ale
1) Credo che Magma intendesse dire che bisogna verificare che sia un sottogruppo additivo dello spazio vettoriale dato e che sia chiuso rispetto al prodotto di vettore per scalare.
2) È la caratterizzazione per stabilire se un determinato sottoinsieme è un sottospazio vettoriale.
3) Perché mai?
L'insieme considerato è l'insieme dei polinomi di tipo
$p(x)= ax^2+bx+c \in RR_2[x]$ tali che $2a+3b=0$
Il che vuol dire, per esempio, che $a=-3/2 b $
Dunque... $p(x)=-3/2b x^2 +bx+c= b(-3/2x^2+x)+c$
Concludi te.
2) È la caratterizzazione per stabilire se un determinato sottoinsieme è un sottospazio vettoriale.
3) Perché mai?
L'insieme considerato è l'insieme dei polinomi di tipo
$p(x)= ax^2+bx+c \in RR_2[x]$ tali che $2a+3b=0$
Il che vuol dire, per esempio, che $a=-3/2 b $
Dunque... $p(x)=-3/2b x^2 +bx+c= b(-3/2x^2+x)+c$
Concludi te.
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