Riconoscere uno spazio vettoriale

[duff18-votailprof]

Verificare che l'insieme $ E = RR^2$, insieme delle coppie di numeri reali, rispetto alle leggi di composizione interna ed esterna definite da:
1)$(x_1,x_2) + (y_1,y_2) = (x_1+y_2, x_2+y_1)
2) $mu (x_1,x_2) = (mux_1, mux_2)$
non è uno spazio vettoriale su $RR$

Precisare quali proprietà non sono soddisfatte

Non capisco perchè il vettore opposto dovrebbe esistere,

non dovrebbe essere:

$(x_1,x_2) + (-x_1,-x_2) = (x_1 - x_2,x_2 - x_1) != 0$

?

[blackbishop13]

il vettore opposto esiste, infatti $AA (x,y) in RR^2$ , $EE (-y,-x) in RR^2$ tale che $(x,y)+(-y,-x)=(x-x,y-y)=(0,0)$ per come è definita quella operazione $+$.

poi perchè non sia uno spazio vettoriale, bisogna ancora vederlo.

[duff18-votailprof]

Scusa se le mie obiezioni ti possono sembrare banali ( e sicuramente lo sono) ma l'opposto di un vettore non dovrebbe essere quello stesso vettore moltiplicato per $-1$ ?

[Camillo]

Non vale la proprietà commutativa della somma in quanto

$(x_1,x_2)+(y_1,y_2) = ( x_1+y_2,x_2+y_1) ne (y_1,y_2) +(x_1,x_2)= ( y_1+x_2 , y_2+x_1 ) $

[blackbishop13]

a me non sembra per niente banale ciò che dici.

ma la questione è diversa: l'opposto additivo esiste, qui non ci piove.
il punto è che non vale la proprietà che dici, ovvero che $x+(-1)*x=0 AA x in E$ è falso.
questa è una dimostrazione.
ma tu dicevi un'altra cosa, ovvero che l'opposto non esiste, il che non è vero.

il modo più immediato è comunque quello di Camillo

[duff18-votailprof]

Sul fatto che non valesse la proprietà commutativa sono d'accordo anche io, infatti la mia domanda era un'altra,
quindi per poter affermare se esiste l'opposto bisogna riferirsi a come è definita l'operazione di somma,
giusto?