Riconoscere una quadrica in forma non canonica
Ciao a tutti!
Quando mi trovo davanti all'equazione di una quadrica scritta in forma non canonica mi trovo spesso in difficoltà a riconoscerla. Per cui mi spieghereste un metodo generale (mi interessa in particolare il caso tridimensionale) per trasformare l'equazione di una quadrica in forma canonica? (anche un link ben fatto mi andrebbe bene o comunque un suggerimento per uno studio che porti a una conoscenza sicura dell'argomento)
In particolare: che significato ha la parte lineare dell'equazione di una quadrica? Che significato geometrico ha la forma non canonica dell'equazione di una quadrica?
Esempio: $3x^2+2x−y^2>0$ oppure $y^2−3x^2>2$ in $RR^3$ Cosa sono?
Grazie
Quando mi trovo davanti all'equazione di una quadrica scritta in forma non canonica mi trovo spesso in difficoltà a riconoscerla. Per cui mi spieghereste un metodo generale (mi interessa in particolare il caso tridimensionale) per trasformare l'equazione di una quadrica in forma canonica? (anche un link ben fatto mi andrebbe bene o comunque un suggerimento per uno studio che porti a una conoscenza sicura dell'argomento)
In particolare: che significato ha la parte lineare dell'equazione di una quadrica? Che significato geometrico ha la forma non canonica dell'equazione di una quadrica?
Esempio: $3x^2+2x−y^2>0$ oppure $y^2−3x^2>2$ in $RR^3$ Cosa sono?
Grazie
Risposte
In generale puoi riconoscere la natura di una conica diagonalizzando la sua matrice dei coefficienti.
Nell'equazione, i termini lineari indicano una traslazione rispetto all'origine, mentre i termini misti indicano una rotazione rispetto all'origine.
Nell'equazione, i termini lineari indicano una traslazione rispetto all'origine, mentre i termini misti indicano una rotazione rispetto all'origine.
Grazie! E' il tipo di risposta che cercavo e un buon punto di partenza per iniziare a ragionarci su.
Se ci pensi un attimo, c'è un modo molto semplice per trovare il vettore di traslazione, ed uno un po' meno immediato [ma non difficile] per capire di quale angolo è fatta la rotazione.
Bene, se ho ben colto i tuoi suggerimenti devo fare la mia traslazione e la mia rotazione della quadrica (o degli assi, a seconda della mia impostazione filosofica). A questo punto però ti chiedo una mano poichè non sono molto ferrato nella geometria (ma sto cercando piano piano di riparare). Per fare la rotazione (e qua l'argomento immagino debba essere spostato nella sezione geometria) mi concentro sul minore B della matrice rappresentativa della quadrica che contenga i termini di secondo grado e i termini misti e cerco una matrice che lo diagonalizzi, cerco cioè una matrice tale che P^-1*B*P=D, con D matrice diagonale e P matrice ortogonale speciale. Per far ciò, se non ricordo male, devo trovare gli autovalori e i relativi autovettori e quindi gli autospazi. Domande: 1) come si trova la matrice P a questo punto e quindi la D? 2) la matrice D diagonale è la matrice rappresentativa della quadrica in forma canonica? 3) Tu alludevi per caso a un metodo più semplice per capire di quale angolo è fatta la rotazione?
Grazie ancora!
Grazie ancora!
Si fa molta fatica a leggere quello che scrivi, per piacere usa le formule, separa i paragrafi con linee vuote e fai quanto necessario per rendere leggibile il testo.
Intanto posso dirti che prima di ruotare la conica è MOLTO conveniente traslarla nell'origine; fatto questo, la tua conica avrà un'equazione omogenea di secondo grado, quindi prendi la sua matrice caratteristica e ti chiedi "Di quale angolo \(\varphi\) è stata ruotata la conica originale per arrivare a questa?".
Dopo aver pensato per un attimo, magicamente arriverai a concludere "Hey! Se io la ruoto di \(-\varphi\) beccando il giusto \(\varphi\) dovrei ottenere una matrice di una conica che è dritta rispetto agli assi, namely una matrice diagonale".
Ora tocca a te.
Intanto posso dirti che prima di ruotare la conica è MOLTO conveniente traslarla nell'origine; fatto questo, la tua conica avrà un'equazione omogenea di secondo grado, quindi prendi la sua matrice caratteristica e ti chiedi "Di quale angolo \(\varphi\) è stata ruotata la conica originale per arrivare a questa?".
Dopo aver pensato per un attimo, magicamente arriverai a concludere "Hey! Se io la ruoto di \(-\varphi\) beccando il giusto \(\varphi\) dovrei ottenere una matrice di una conica che è dritta rispetto agli assi, namely una matrice diagonale".
Ora tocca a te.
Ok! Mi potresti dare un suggerimento su come trovare l'angolo che non saprei proprio da dove partire..? 
Rispondi a questa domanda: come faresti se volessi ruotare una conica partendo dalla sua matrice?
La potrei moltiplicare per la sua matrice di rotazione oppure potrei fare come ho scritto sopra.
Buona la prima!
"Raptorista":
Dopo aver pensato per un attimo, magicamente arriverai a concludere "Hey! Se io la ruoto di \(-\varphi\) beccando il giusto \(\varphi\) dovrei ottenere una matrice di una conica che è dritta rispetto agli assi, namely una matrice diagonale".
Come faccio a capire qual è il giusto \(\varphi\)?
Quando becchi il \(\varphi\) giusto succederà qualcosa che con gli altri \(\varphi\) non succede!
La matrice assumerà la forma diagonale?
That's it! Comunque l'avevo già scritto diversi messaggi fa....
Infatti si. Però il mio problema è proprio lì, cioè che non ricordo come si diagonalizza questa matrice.
Non la devi diagonalizzare: scrivi il prodotto così come viene, lasciando \(\varphi\) indicato, e poi CHIEDI che la matrice abbia forma diagonale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo