Riconoscere una Quadrica

[Bad90]

Se ho questa traccia:

Vorrei capire cosa intende la terza domanda?!?!??!

Se mi viene richiesto di riconoscere la quadrica $Q(vec(v)) = g(vec(v),vec(v)) = 1$, cosa devo fare per poter arrivare a dire che è un' Elissoide Reale

Insomma, io ho in mente un procedimento, ma non sono sicuro che sia quello.....

Chiedo a voi.........

Si tratta di ridurre in forma canonica la quadrica per poi trarre le conclusioni e dire che è un' Elissoide Reale????

[magmachiuso]

L'idea è corretta. La matrice $G$ definisce un prodotto scalare, dunque se riduci in forma canonica trovi che il polinomio $Q(x_1,x_2,x_3)$ si scrive come $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$, dove $y_i = P_i(x_1,x_2,x_3)$ con $P_i$ polinomi omogenei di primo grado linearmente indipendenti. Questo significa che l'affinità $x_i \mapsto y_i$ manda la quadrica $Q(x_1,x_2,x_3) = 1$ nell'ellissoide reale $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 = 1$ (o equivalentemente che il cambio di coordinate affini $x_i \mapsto y_i$ manda i vecchi assi coordinati negli assi della quadrica che quindi risulta essere un'ellissoide reale - e questo cambio di coordinate corrisponde al passaggio dalla base canonica di $\mathbb{R}^3$ a una base ortonormale rispetto a $g$).

[Bad90]

"magmachiuso":L'idea è corretta. La matrice $G$ definisce un prodotto scalare, dunque se riduci in forma canonica trovi che il polinomio $Q(x_1,x_2,x_3)$ si scrive come $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2$, dove $y_i = P_i(x_1,x_2,x_3)$ con $P_i$ polinomi omogenei di primo grado linearmente indipendenti. Questo significa che l'affinità $x_i \mapsto P_i(x_1,x_2,x_3)$ manda la quadrica $Q(x_1,x_2,x_3) = 1$ nell'ellissoide reale $y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 = 1$.

Si, penso che sia giusta, ma penso che fare calcoli sarebbe inutile, in quanto la traccia dice parecchio, mi spiego.......
La matrice che da la traccia, che si vede nell'immagine che ho postato, la si vede a colpo d'occhio che e' simmetrica!

Qualche esperto, spero mi correggiera' se sto dicendo una cazzata.....

Essendo una matrice simmetrica, sara' per forza una matrice diagonale, essendo diagonale, sara' per forza ortogonale e percio' si ha che $A^(-1)=A^(T) $, percio' la matrice non ha bisogno di rotazione traslazioni nello spazio a cui appartiene.

Diciamo che si tratta di una quadratica che può essere scritta in questo modo:

$A' = ( ( 1 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 1 , 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) ) $

L'ultima colonna che ho aggiunto, ha il valore $k=-1$ dovuto alla $g(vec(v),vec(v))=1$

Quindi le conclusioni, sono immediate!

P.S. Qualche esperto potrebbe darci un chiarimento in merito????