Ricerca rette passanti per un punto
Vorrei proporre un esercizio per confrontarmi con voi
L'esercizio dice
Determinare le rette passanti per P=(1,1,1), parallele al piano &: x-y+4=0 e tali che la loro minima distanza dall'asse x sia 1.
la strategia che ho adottato (non ha funzionato) è stata quella di considerare la retta intersezione di due piani
il primo piano x-y=0 è parallelo al piano & e passante per P.
Poi ho scritto il piano generico $ a(x-1)+b(y-1)+c(z-1)=0 $ passante per P.
Imponendo il parallelismo con l'asse x
1a+0b+0c=0, cioè a=0
Quindi mi resta b(y-1)+c(z-1)=0 A questo punto qualsiasi punto sull'asse x ha la seconda e la terza coordinata uguale a zero e imponendo distanza 1 il il risultato è c=0 oppure b=0 (-2bc=0)
Ho pensato che sono due piani z-1=0 e y-1=0 ma non ne sono certo penso che ci sia qualcosa che non va...
Grazie in anticipo a chi risponderà
L'esercizio dice
Determinare le rette passanti per P=(1,1,1), parallele al piano &: x-y+4=0 e tali che la loro minima distanza dall'asse x sia 1.
la strategia che ho adottato (non ha funzionato) è stata quella di considerare la retta intersezione di due piani
il primo piano x-y=0 è parallelo al piano & e passante per P.
Poi ho scritto il piano generico $ a(x-1)+b(y-1)+c(z-1)=0 $ passante per P.
Imponendo il parallelismo con l'asse x
1a+0b+0c=0, cioè a=0
Quindi mi resta b(y-1)+c(z-1)=0 A questo punto qualsiasi punto sull'asse x ha la seconda e la terza coordinata uguale a zero e imponendo distanza 1 il il risultato è c=0 oppure b=0 (-2bc=0)
Ho pensato che sono due piani z-1=0 e y-1=0 ma non ne sono certo penso che ci sia qualcosa che non va...
Grazie in anticipo a chi risponderà
Risposte
io farei così... è un'idea e non ho controllato con i calcoli prova e fammi sapere
Prendi il piano $alpha$ parallelo $pi$ che passi per $P$ e chiama $Q="assex"nnalpha$. Considera ora la retta $r$ per $P$ parallela all'asse x. Costruisci un generico fascio di piani di asse $r$ e imponi che abbia distanza $1$ da $Q$. Otterrai due valori per il parametro, ovvero due piani, $beta_1$ e $beta_2$. Le rette cercate sono $beta_1nnalpha$ e $beta_2nnalpha$
Prova un pò e vedi che succede
Prendi il piano $alpha$ parallelo $pi$ che passi per $P$ e chiama $Q="assex"nnalpha$. Considera ora la retta $r$ per $P$ parallela all'asse x. Costruisci un generico fascio di piani di asse $r$ e imponi che abbia distanza $1$ da $Q$. Otterrai due valori per il parametro, ovvero due piani, $beta_1$ e $beta_2$. Le rette cercate sono $beta_1nnalpha$ e $beta_2nnalpha$
Prova un pò e vedi che succede
i risultati coincidono
r': x-y=0, z-1=0 e r'': x-y=0, y-1=0 che tra l'altro coincide con la retta parallela a x e passante per P
il tuo metodo è molto più immediato
r': x-y=0, z-1=0 e r'': x-y=0, y-1=0 che tra l'altro coincide con la retta parallela a x e passante per P
il tuo metodo è molto più immediato
e sono corretti o no, non ho capito?!
Perchè avevo un dubbio circa la retta $r$ se doveva essere parallela all'asse $x$ oppure perpendicolare al piano...
Perchè avevo un dubbio circa la retta $r$ se doveva essere parallela all'asse $x$ oppure perpendicolare al piano...
se fosse perpendicolare al piano andremo contro la prima richiesta dell'esercizio...
ma possiamo affermare che r è perpendicolare alla normale del piano
ma possiamo affermare che r è perpendicolare alla normale del piano
e perchè? attenzione a non confondere le rette che cerchiamo con l'asse del fascio di piani!
Comunque provando a controllare le distanza dei risultati ottenuti dovrebbero essere giuste... Magari se qualche altro vuole confermare!
se usiamo la perpendicolare al piano perdiamo un piano, infatti troviamo due radici coincidenti $lambda$=0
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo