Ricerca matrice conoscendo invertibilità e un autospazio
Scusate, se sto postando un po troppo (ho un esame a breve) , ma cerco sempre di argomentare al meglio le mie domande.
Ci risiamo con un'altro inconfodibile e temibile esercizio:
Quindi la matrice che andiamo cercando deve essere non invertibile e ha l'autospazio relativo a l'autovalore 2 $x1 +x2+x3 = 0$, quindi l'autospazio si presenta nella forma $((1,0, -1/3 ),(0,1 -1))$ (credo)
Quindi essendo il rango della matrice uguale a 2 possiamo dire che i suoi autovalori non nulli siano due.. quindi : 2 (molteplicità 2) e 0 , visto che il determinamente è il prodotto degli autovalori lo zero ci sta per forza. Quindi gli autovalori gli abbiamo trovati..
Il problema è che sono fermo qui.. mi dareste una spintina per procedere oltre?
Ci risiamo con un'altro inconfodibile e temibile esercizio:
Quindi la matrice che andiamo cercando deve essere non invertibile e ha l'autospazio relativo a l'autovalore 2 $x1 +x2+x3 = 0$, quindi l'autospazio si presenta nella forma $((1,0, -1/3 ),(0,1 -1))$ (credo)
Quindi essendo il rango della matrice uguale a 2 possiamo dire che i suoi autovalori non nulli siano due.. quindi : 2 (molteplicità 2) e 0 , visto che il determinamente è il prodotto degli autovalori lo zero ci sta per forza. Quindi gli autovalori gli abbiamo trovati..
Il problema è che sono fermo qui.. mi dareste una spintina per procedere oltre?
Risposte
Allora la situazione è la seguente:
per l'autovalore $lambda=2$ hai un autospazio di dimensione 2 ;
per l'autovalore $lambda=0$ hai un autospazio di dimensione 1.
L'endomorfismo è diagonalizzabile.
Osservazione: ci sono infiniti endomorfismi con quelle proprietà.
per l'autovalore $lambda=2$ hai un autospazio di dimensione 2 ;
per l'autovalore $lambda=0$ hai un autospazio di dimensione 1.
L'endomorfismo è diagonalizzabile.
Osservazione: ci sono infiniti endomorfismi con quelle proprietà.
si, ci sono, quello che mi stavo chiedendo è come sia possibile determinare un autospazio relativo ad un autovalore senza conoscere la matrice.
Poi non so l'esercizio secondo te, vuole che la matrice A venga esplicitata o richiede solo una sua diagonalizzazione?
Poi non so l'esercizio secondo te, vuole che la matrice A venga esplicitata o richiede solo una sua diagonalizzazione?
"yokonunz":
si, ci sono, quello che mi stavo chiedendo è come sia possibile determinare un autospazio relativo ad un autovalore senza conoscere la matrice.
Poi non so l'esercizio secondo te, vuole che la matrice A venga esplicitata o richiede solo una sua diagonalizzazione?
L'esercizio ti chiede di determinarne una qualsiasi.
Non riesco proprio ad uscirci, potresti darmi ancora un'altro aiuto?
Allora:
per quanto riguarda l'autospazio $V_2$ puoi prendere come base
${((3),(0),(-1))} , ((0),(1),(-1))$ ,
mentre come generatore del nucleo basta scegliere un vettore qualsiasi $\notin V_2$, ad esempio $e_1$.
La matrice $A$ la ottieni quindi nel modo seguente:
$A = ((3, 0, 1), (0, 1, 0), (-1, -1, 0)) ((2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 0)) ((3, 0, 1), (0, 1, 0), (-1, -1, 0))^(-1)$
si ricava
$A = ((0, -6, -6), (0, 2, 0), (0, 0, 2))$ .
Spero che ora sia chiaro il procedimento..
per quanto riguarda l'autospazio $V_2$ puoi prendere come base
${((3),(0),(-1))} , ((0),(1),(-1))$ ,
mentre come generatore del nucleo basta scegliere un vettore qualsiasi $\notin V_2$, ad esempio $e_1$.
La matrice $A$ la ottieni quindi nel modo seguente:
$A = ((3, 0, 1), (0, 1, 0), (-1, -1, 0)) ((2, 0, 0), (0, 2, 0), (0, 0, 0)) ((3, 0, 1), (0, 1, 0), (-1, -1, 0))^(-1)$
si ricava
$A = ((0, -6, -6), (0, 2, 0), (0, 0, 2))$ .
Spero che ora sia chiaro il procedimento..
ci siamo quasi, l'unica cosa , non ho capito la parte relativa al nucleo..
"yokonunz":
ci siamo quasi, l'unica cosa , non ho capito la parte relativa al nucleo..
Allora:
l'esercizio ti chiede che la matrice non sia invertibile, quindii deve avere l'autovalore $lambda=0$.
Ci sei fin qui?
Se ha l'autovalore nullo, ci dovrà essere un autospazio (che è il nucleo della matrice), la cui dimensione deve essere 1.
Poiché non ci sono richieste specifiche sul nucleo, come generatore posso scegliere un qualsiasi vettore che non stia in $V_2$.
Sono stato chiaro?
mi hai illuminato, quindi tutti gli autospazi fanno parte del ker della matrice?
"yokonunz":
mi hai illuminato, quindi tutti gli autospazi fanno parte del ker della matrice?
No!!!
Tu hai un autospazio fissato per $lambda=2$, mentre per $lambda=0$ puoi scegliere un autospazio a piacere
(purché non sia già contenuto in $V_2$).
Hai capito ora?
si questo si, ma non ho capito il nesso col nucleo (grazie per la pazienza )
(grazie per la pazienza )
"yokonunz":
si questo si, ma non ho capito il nesso col nucleo
Il nucleo di $A$ è l'autospazio relativo a $lambda=0$.
ok. ti lascio riposare. grazieee!
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