Ricerca di vettori isotropi
Come faccio a trovar un veottre isotropo per il seguente prodotto scalare?? $phi(X,Y))= tX AY$ con tX che sta per: trasposta di X, e A è la seguente matrice:
2 1 -1 2
1 1 1 -1
-1 1 2 0
2 -1 0 3
2 1 -1 2
1 1 1 -1
-1 1 2 0
2 -1 0 3
Risposte
io diagonalizzerei la matrice e da lì capire se ci sono vettori isotropi. scritta in forma diagonale il problema è più trattabile anche perchè così ad occhio non riesco a trovarne!
io ci sto provando da ore a diagonalizzarla ma mi sembra difficile... il polinomio caratteristico è un casino assurdo trovarlo!!! però facciamo finta di averlo trovato e di avere una matrice diagonale, per trovare vettori isotropi basta provare a fare $tXBY$ con B la matrice diagonale ottenuta?? cioè detto in malo modo: i vettori isotropi sono invarianti per diagonalizzazione??
$ ( ( x , y , z , w ) )( ( 2 , 1 , -1 , 2 ),( 1 , 1 , 1 , -1 ),( -1 , 1 , 2 , 0 ),( 2 , -1 , 0 , 3 ) )( ( x ),( y ),(z ),( w ) ) = 2z^2 + 2yz - 2xz + y^2 + 2xy - 2wy + 2x^2 + 4wx + 3w^2 $
Adesso possiamo porre dei valori a y, z, w facendo così saltare fuori una equazione di secondo grado in x. L'importante è fare in modo che il delta sia non negativo! Ad esempio con y = 1, z = -1, w = 1 l'espressione si riduce a
$ 2x^2 + 8x + 2 $
il delta è $ 8^2 - 4(2 * 2) = 48 $, quindi basta prendere $ x = (-8 pm sqrt(48) )/4 = -2 pm sqrt(3) $ , perciò $ x = ( ( -2+sqrt(3) ),( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) $ è un vettore isotropo rispetto al prodotto scalare di A.
La similitudine non conserva l'esistenza di vettori isotropi. Considera
$ D = ( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $ , $ ( ( x , y ) )( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) )( ( x ),( y ) ) = x^2 + 2y^2 $ , che è nullo se e solo se x = 0 e y = 0, perciò l'unico vettore isotropo è il vettore nullo. Se consideriamo la matrice
$ B = ( ( 1 , 1 ),( 3/4 , 1 ) ) D ( ( 4 , -4 ),( -3 , 3 ) ) = ( ( -2 , 4 ),( -3 , 5 ) ) $ (notare che $ ( ( 4 , -4 ),( -3 , 3 ) ) $ è l'inversa di $ ( ( 1 , 1 ),( 3/4 , 1 ) ) $, quindi B è simile a D) ha il vettore $ ( ( (sqrt(41)+1)/4 ),( 1 ) ) $ come vettore isotropo.
Fare i conti per credere!
Adesso possiamo porre dei valori a y, z, w facendo così saltare fuori una equazione di secondo grado in x. L'importante è fare in modo che il delta sia non negativo! Ad esempio con y = 1, z = -1, w = 1 l'espressione si riduce a
$ 2x^2 + 8x + 2 $
il delta è $ 8^2 - 4(2 * 2) = 48 $, quindi basta prendere $ x = (-8 pm sqrt(48) )/4 = -2 pm sqrt(3) $ , perciò $ x = ( ( -2+sqrt(3) ),( 1 ),( -1 ),( 1 ) ) $ è un vettore isotropo rispetto al prodotto scalare di A.
La similitudine non conserva l'esistenza di vettori isotropi. Considera
$ D = ( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) ) $ , $ ( ( x , y ) )( ( 1 , 0 ),( 0 , 2 ) )( ( x ),( y ) ) = x^2 + 2y^2 $ , che è nullo se e solo se x = 0 e y = 0, perciò l'unico vettore isotropo è il vettore nullo. Se consideriamo la matrice
$ B = ( ( 1 , 1 ),( 3/4 , 1 ) ) D ( ( 4 , -4 ),( -3 , 3 ) ) = ( ( -2 , 4 ),( -3 , 5 ) ) $ (notare che $ ( ( 4 , -4 ),( -3 , 3 ) ) $ è l'inversa di $ ( ( 1 , 1 ),( 3/4 , 1 ) ) $, quindi B è simile a D) ha il vettore $ ( ( (sqrt(41)+1)/4 ),( 1 ) ) $ come vettore isotropo.
Fare i conti per credere!
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