Ricerca di una Base su Spazio Matriciale
Come promesso, dopo Analisi, rieccomi ad assillarvi con le mie domande, stavolta riguardo all'Algebra Lineare! 
Mi stanno creando un po' di dubbi gli esercizi sugli spazi vettoriali, più precisamente su quegli spazi vettoriali che presentano come "vettori", matrici o polinomi.
Passo al sodo. Come (giustamente) avete indicato nella "guida", prima di postare ho provato a svolgere l'esercizio da solo, potreste dargli un'occhiata per vedere se è giusto?
Testo Esercizio:
Verificare che $U={[[a_{11},a_{12}],[a_{21},a_{22}]]in M_(2,2)(RR) : a_{11}+a_{12}=0 , a_{11}-a_{21}=0}$
è un sottospazio vettoriale di $M_(2,2)(RR)$. Trovarne una base.
Tentativo di svolgimento:
Ho verificato che è effettivamente un sottospazio vettoriale utilizzando le due equazioni cartesiane che lo descrivono, poi però mi sono venuti parecchi dubbi circa la ricerca della base.
Se fosse stato un generico vettore colonna, avrei utilizzato le equazioni cartesiane per risalire ai vettori generatori impostando la combinazione lineare generica, il problema nasce perchè sono matrici.
Ho provato a risolverlo scrivendo le coordinate generiche della matrice rispetto alla base canonica. In pratica:
Sono passato dalla matrice $U={[[a_{11},a_{12}],[a_{21},a_{22}]]$ a $F(U)=[[a_{11},a_{12}],[a_{21},a_{22}]]$ e quindi al vettore delle coordinate $F(U)=[[a_{11}] ,[a_{12}],[a_{21}],[a_{22}]]$, che poi diventa $F(U)=[[a_{11}] ,[-a_{11}],[a_{11}],[a_{22}]]$ applicando le condizioni imposte dalle equazioni cartesiane che descrivono il sottospazio.
Quello che più mi crea dubbio è la liceità del passaggio dalla matrice al vettore delle coordinate. Perchè ho potuto farlo? Centra qualcosa l'isomorfismo? Sapreste spiegarmelo in modo "semplice"?
Ho riscritto poi il vettore delle coordinate come combinazione lineare di altri vettori (2, essendo 2 le incognite libere).
$F(U)=[[a_{11}] ,[-a_{11}],[a_{11}],[a_{22}]]= a_{11}[[1] ,[-1],[1],[0]]+a_{22}[[0] ,[0],[0],[1]]$
In questo modo ho individuato due vettori che mi costituiscono una base del sottospazio U.
$B={[[1] ,[-1],[1],[0]];[[0] ,[0],[0],[1]]}$
Ho pensato poi che sarebbe stata la stessa cosa scrivere la base come insieme di due matrici invece che di due vettori:
$B={[[1,-1],[1,0]];[[0,0],[0,1]]}$
E' corretto ciò che ho fatto?
Oltre alla liceità di quel passaggio intermedio che vi ho segnalato, ho un altro dubbio:
ho letto che la dimensione dello spazio formato dalle matrici ${M_(m,n)}$ si trova facendo $dimM_(m,n)=mxn$. In questo caso ho una matrice ${M_(2,2)}$ e la dimensione sarebbe dovuta essere $2x2=4$, mentre io ho trovato solo due matrici generatrici (o ugualmente due vettori delle coordinate generatori) e quindi la $dimM_(2,2)=2$ e non $4$ come direbbe la formuletta, sapreste spiegarmi come mai?
Mi stanno creando un po' di dubbi gli esercizi sugli spazi vettoriali, più precisamente su quegli spazi vettoriali che presentano come "vettori", matrici o polinomi.
Passo al sodo. Come (giustamente) avete indicato nella "guida", prima di postare ho provato a svolgere l'esercizio da solo, potreste dargli un'occhiata per vedere se è giusto?
Testo Esercizio:
Verificare che $U={[[a_{11},a_{12}],[a_{21},a_{22}]]in M_(2,2)(RR) : a_{11}+a_{12}=0 , a_{11}-a_{21}=0}$
è un sottospazio vettoriale di $M_(2,2)(RR)$. Trovarne una base.
Tentativo di svolgimento:
Ho verificato che è effettivamente un sottospazio vettoriale utilizzando le due equazioni cartesiane che lo descrivono, poi però mi sono venuti parecchi dubbi circa la ricerca della base.
Se fosse stato un generico vettore colonna, avrei utilizzato le equazioni cartesiane per risalire ai vettori generatori impostando la combinazione lineare generica, il problema nasce perchè sono matrici.
Ho provato a risolverlo scrivendo le coordinate generiche della matrice rispetto alla base canonica. In pratica:
Sono passato dalla matrice $U={[[a_{11},a_{12}],[a_{21},a_{22}]]$ a $F(U)=[[a_{11},a_{12}],[a_{21},a_{22}]]$ e quindi al vettore delle coordinate $F(U)=[[a_{11}] ,[a_{12}],[a_{21}],[a_{22}]]$, che poi diventa $F(U)=[[a_{11}] ,[-a_{11}],[a_{11}],[a_{22}]]$ applicando le condizioni imposte dalle equazioni cartesiane che descrivono il sottospazio.
Quello che più mi crea dubbio è la liceità del passaggio dalla matrice al vettore delle coordinate. Perchè ho potuto farlo? Centra qualcosa l'isomorfismo? Sapreste spiegarmelo in modo "semplice"?
Ho riscritto poi il vettore delle coordinate come combinazione lineare di altri vettori (2, essendo 2 le incognite libere).
$F(U)=[[a_{11}] ,[-a_{11}],[a_{11}],[a_{22}]]= a_{11}[[1] ,[-1],[1],[0]]+a_{22}[[0] ,[0],[0],[1]]$
In questo modo ho individuato due vettori che mi costituiscono una base del sottospazio U.
$B={[[1] ,[-1],[1],[0]];[[0] ,[0],[0],[1]]}$
Ho pensato poi che sarebbe stata la stessa cosa scrivere la base come insieme di due matrici invece che di due vettori:
$B={[[1,-1],[1,0]];[[0,0],[0,1]]}$
E' corretto ciò che ho fatto?
Oltre alla liceità di quel passaggio intermedio che vi ho segnalato, ho un altro dubbio:
ho letto che la dimensione dello spazio formato dalle matrici ${M_(m,n)}$ si trova facendo $dimM_(m,n)=mxn$. In questo caso ho una matrice ${M_(2,2)}$ e la dimensione sarebbe dovuta essere $2x2=4$, mentre io ho trovato solo due matrici generatrici (o ugualmente due vettori delle coordinate generatori) e quindi la $dimM_(2,2)=2$ e non $4$ come direbbe la formuletta, sapreste spiegarmi come mai?
Risposte
"SheldonLeeCooper":
Quello che più mi crea dubbio è la liceità del passaggio dalla matrice al vettore delle coordinate. Perchè ho potuto farlo? Centra qualcosa l'isomorfismo? Sapreste spiegarmelo in modo "semplice"?
Sì, lo puoi fare grazi a l'isomorfismo con \(\mathbb{R}^n\). Infatti uno spazio vettoriale di dimensione \(n\) sul campo \(\mathbb{K}\) è isomorfo allo spazio \(\mathbb{K}^n\).
"SheldonLeeCooper":
Oltre alla liceità di quel passaggio intermedio che vi ho segnalato, ho un altro dubbio:
ho letto che la dimensione dello spazio formato dalle matrici ${M_(m,n)}$ si trova facendo $dimM_(m,n)=mxn$. In questo caso ho una matrice ${M_(2,2)}$ e la dimensione sarebbe dovuta essere $2x2=4$, mentre io ho trovato solo due matrici generatrici (o ugualmente due vettori delle coordinate generatori) e quindi la $dimM_(2,2)=2$ e non $4$ come direbbe la formuletta, sapreste spiegarmi come mai?
Attenzione, lo spazio delle matrici \(2\times 2\) è \(4\) ma il tuo è un sottospazio di dimensione \(2\) di quest'ultimo! Ecco svelato il mistero.
Infatti il tuo sottospazio deve soddisfare \(2\) vincoli (equazioni) che "eliminano 2 gradi di libertà" e \(4 - 2 = 2\).
Non ho verificato esplicitamente i conti, ma il procedimento è giusto.
@SheldonLeeCooper,
senza passare per isomorfismi .... prendi una matrice del tuo sottospazio \(U\) certamente sarà del tipo \(\begin{Vmatrix}
a & -a\\
a & b
\end{Vmatrix}\) con \(a,b \in \Bbb{R}\), allora si può dire anche $$\begin{Vmatrix}
a & -a\\
a & b
\end{Vmatrix}=a\begin{Vmatrix}
1& -1\\
1 & 0
\end{Vmatrix} + b \begin{Vmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{Vmatrix} \to U=\operatorname{Span}\left(\begin{Vmatrix}
1& -1\\
1 & 0
\end{Vmatrix} ,\begin{Vmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{Vmatrix} \right)$$
il tuo sottospazio ha palesemente dimensione \(\dim_\Bbb{R}(U)=2\neq \dim_\Bbb{R}(\mathscr{M}_{2,2}(\Bbb{R}))=4\); se hai una matrice \(a \in \mathscr{M}_{2,2}\) per dimensione di solito[nota]secondo alcuni autori
[/nota] ci si riferisce al rango di \(a\) e non alla dimensione dello spazio che contiene \(a \)..
Saluti
senza passare per isomorfismi .... prendi una matrice del tuo sottospazio \(U\) certamente sarà del tipo \(\begin{Vmatrix}
a & -a\\
a & b
\end{Vmatrix}\) con \(a,b \in \Bbb{R}\), allora si può dire anche $$\begin{Vmatrix}
a & -a\\
a & b
\end{Vmatrix}=a\begin{Vmatrix}
1& -1\\
1 & 0
\end{Vmatrix} + b \begin{Vmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{Vmatrix} \to U=\operatorname{Span}\left(\begin{Vmatrix}
1& -1\\
1 & 0
\end{Vmatrix} ,\begin{Vmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{Vmatrix} \right)$$
"SheldonLeeCooper":
Oltre alla liceità di quel passaggio intermedio che vi ho segnalato, ho un altro dubbio:
ho letto che la dimensione dello spazio formato dalle matrici ${M_(m,n)}$ si trova facendo $dimM_(m,n)=mxn$. In questo caso ho una matrice ${M_(2,2)}$ e la dimensione sarebbe dovuta essere $2x2=4$, mentre io ho trovato solo due matrici generatrici (o ugualmente due vettori delle coordinate generatori) e quindi la $dimM_(2,2)=2$ e non $4$ come direbbe la formuletta, sapreste spiegarmi come mai?
il tuo sottospazio ha palesemente dimensione \(\dim_\Bbb{R}(U)=2\neq \dim_\Bbb{R}(\mathscr{M}_{2,2}(\Bbb{R}))=4\); se hai una matrice \(a \in \mathscr{M}_{2,2}\) per dimensione di solito[nota]secondo alcuni autori
[/nota] ci si riferisce al rango di \(a\) e non alla dimensione dello spazio che contiene \(a \).. Saluti
Perfetto, allora adesso è tutto chiaro! 
Per evitare di aprire altri thread, scriverò qui sotto gli eventuali altri dubbi
Nel frattempo un'altra domanda all'apparenza banale ma alla quale non riesco a trovare risposta:
Qual'è la differenza tra uno spazio vettoriale descritto da una (o più) equazione cartesiana e uno spazio vettoriale descritto dalle soluzioni di un sistema lineare omogeneo? Faccio due esempi per essere più chiaro:
$U_1= {[[x_1],[x_2],[x_3]] t.c. x_1+2x_2+5x_3=0 }$ $(1)$
$U_2= {[[x_1],[x_2],[x_3]]t.c.AX=0}$ (generica matrice dei coefficienti A) $(2)$
Il sistema dello spazio vettoriale $(1)$ non potrebbe essere comunque visto come un caso particolare di sistema lineare con un'equazione sola ? Non potrebbe scriversi anch'esso come $AX=0$? In questo caso la matrice dei coefficienti $A$ sarebbe $A=[1;2;5]$. E' corretto?
L'esercizio riguardo a questo dubbio che non ho capito chiedeva infatti:
Data la matrice A=$[[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9]]$, determinare una base dello spazio vettoriale $W={X∈M_(3,1)| AX=0}$.
Per svolgerlo avrei dovuto risolvere il sistema lineare?
Io ho fatto semplicemente così:
Ho scritto il sistema in forma normale:
$AX=0$ diventa \begin{equation}\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\\2x_1+4x_2+6x_3=0\\3x_1+6x_2+9x_3=0\end{cases}\end{equation}
ho calcolato poi il rango della matrice dei coefficenti A:
$rgA[[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9]]=1$
Ho eliminato le righe linearmente dipendenti:
$A=[1,2,3]$
Ho riscritto il sistema lineare nell'unica equazione:
\begin{equation}\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\end{cases}\end{equation}
Ho espresso la variabile $x_1$ tramite le altre due che ho considerato parametri:
\begin{equation}\begin{cases}x_1=-2x_2-3x_3\end{cases}\end{equation}
E così ho scritto il vettore generico:
$v=[[-2x_2-3x_3],[x_2],[x_3]]$
Scrivendolo poi come combinazione lineare ho ottenuto i due vettori della base:
$v=[[-2x_2-3x_3],[x_2],[x_3]]=x_2[[-2],[1],[0]]+x_3[[-3],[0],[1]]$
$B_(W)=[[-2],[1],[0]];[[-3],[0],[1]]$ ($dimW=2$)
E' corretto?
In questo caso è stato facile perchè la matrice dei coefficienti presentava due righe su tre linearmente dipendenti. Ma nel caso fossero state tutte e 3 le righe linearmente indipendenti, avrei dovuto risolvere il sistema (e in generale, devo risolverlo?) oppure bastava che (come in questo esercizio) esprimessi le incognite in funzione delle altre che avrei considerato come parametri?
Per evitare di aprire altri thread, scriverò qui sotto gli eventuali altri dubbi
Nel frattempo un'altra domanda all'apparenza banale ma alla quale non riesco a trovare risposta:
Qual'è la differenza tra uno spazio vettoriale descritto da una (o più) equazione cartesiana e uno spazio vettoriale descritto dalle soluzioni di un sistema lineare omogeneo? Faccio due esempi per essere più chiaro:
$U_1= {[[x_1],[x_2],[x_3]] t.c. x_1+2x_2+5x_3=0 }$ $(1)$
$U_2= {[[x_1],[x_2],[x_3]]t.c.AX=0}$ (generica matrice dei coefficienti A) $(2)$
Il sistema dello spazio vettoriale $(1)$ non potrebbe essere comunque visto come un caso particolare di sistema lineare con un'equazione sola ? Non potrebbe scriversi anch'esso come $AX=0$? In questo caso la matrice dei coefficienti $A$ sarebbe $A=[1;2;5]$. E' corretto?
L'esercizio riguardo a questo dubbio che non ho capito chiedeva infatti:
Data la matrice A=$[[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9]]$, determinare una base dello spazio vettoriale $W={X∈M_(3,1)| AX=0}$.
Per svolgerlo avrei dovuto risolvere il sistema lineare?
Io ho fatto semplicemente così:
Ho scritto il sistema in forma normale:
$AX=0$ diventa \begin{equation}\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\\2x_1+4x_2+6x_3=0\\3x_1+6x_2+9x_3=0\end{cases}\end{equation}
ho calcolato poi il rango della matrice dei coefficenti A:
$rgA[[1,2,3],[2,4,6],[3,6,9]]=1$
Ho eliminato le righe linearmente dipendenti:
$A=[1,2,3]$
Ho riscritto il sistema lineare nell'unica equazione:
\begin{equation}\begin{cases}x_1+2x_2+3x_3=0\end{cases}\end{equation}
Ho espresso la variabile $x_1$ tramite le altre due che ho considerato parametri:
\begin{equation}\begin{cases}x_1=-2x_2-3x_3\end{cases}\end{equation}
E così ho scritto il vettore generico:
$v=[[-2x_2-3x_3],[x_2],[x_3]]$
Scrivendolo poi come combinazione lineare ho ottenuto i due vettori della base:
$v=[[-2x_2-3x_3],[x_2],[x_3]]=x_2[[-2],[1],[0]]+x_3[[-3],[0],[1]]$
$B_(W)=[[-2],[1],[0]];[[-3],[0],[1]]$ ($dimW=2$)
E' corretto?
In questo caso è stato facile perchè la matrice dei coefficienti presentava due righe su tre linearmente dipendenti. Ma nel caso fossero state tutte e 3 le righe linearmente indipendenti, avrei dovuto risolvere il sistema (e in generale, devo risolverlo?) oppure bastava che (come in questo esercizio) esprimessi le incognite in funzione delle altre che avrei considerato come parametri?
"SheldonLeeCooper":
Il sistema dello spazio vettoriale $(1)$ non potrebbe essere comunque visto come un caso particolare di sistema lineare con un'equazione sola ? Non potrebbe scriversi anch'esso come $AX=0$? In questo caso la matrice dei coefficienti $A$ sarebbe $A=[1;2;5]$. E' corretto?
Sì certo.
"SheldonLeeCooper":
In questo caso è stato facile perchè la matrice dei coefficienti presentava due righe su tre linearmente dipendenti. Ma nel caso fossero state tutte e 3 le righe linearmente indipendenti, avrei dovuto risolvere il sistema (e in generale, devo risolverlo?) oppure bastava che (come in questo esercizio) esprimessi le incognite in funzione delle altre che avrei considerato come parametri?
Risolvere il sistema vuol dire semplicemente esplicitare la forma delle soluzioni, che è quello che implicitamente hai fatto. Quindi sì, devi risolverlo e lo spazio delle soluzioni sarà il tuo sottospazio.
"SheldonLeeCooper":in generale, e in particolare, devi risolvere
In questo caso è stato facile perchè la matrice dei coefficienti presentava due righe su tre linearmente dipendenti. Ma nel caso fossero state tutte e 3 le righe linearmente indipendenti, avrei dovuto risolvere il sistema (e in generale, devo risolverlo?) oppure bastava che (come in questo esercizio) esprimessi le incognite in funzione delle altre che avrei considerato come parametri?
Quello che hai fatto è "giusto" ma lo hai fatto troppo meccanicamente a mio avviso, non giustifichi bene i singoli passaggi... il numero delle incognite libere, ergo le variabili rispetto alle quali le altre dipenderanno, è dato da semplici accorgimenti sull'ARCINOTO[nota]come direbbe il Manetti[/nota] teorema di Rouchè-Capelli; in sostanza e in linea generale ti basta applicare questo teorema per risolvere un sistema lineare. Saluti
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