Ricerca di una base in uno S.V.
Riporto la traccia del problema, e il mio tentativo di risoluzione:
In R^4 si consideri il sottospazio S = L(v1,v2,v3,v4) dove:
v1 = (1,0,1,1)
v2 = (0,1,-1,2)
v3 = (2,1,1,4)
v4 = (1,2,-1,5)
Si trovi una base di S e si calcolino le componenti di u = (1,1,1,1) rispetto a tale base.
Tralasciando i calcoli risulta che v1 e v2 sono accettabili come componenti della base, mentre v3 e v4, sono c.l. di v1 e v2.
a questo punto ho pensato di aggiugnere a questi due vettori, i vettori della base canonica e1,e2,e3,e4, dai calcoli mi risulta che v1, v2, e1, e2 sono linearmente indipendenti, e che quindi possono comporre una base per S.
Tuttavia la soluzione al problema si ferma allo step precedente, cioè semplicemente, scartati v3 e v4, dice che la base per S sono v1 e v2.
Ho provato a darmi una spiegazione, ed effettivamente dimS=2, quindi dovrebbero essere sufficienti due vettori per comporne una base.
è giusto ho c'è qualche altra ragione?
In R^4 si consideri il sottospazio S = L(v1,v2,v3,v4) dove:
v1 = (1,0,1,1)
v2 = (0,1,-1,2)
v3 = (2,1,1,4)
v4 = (1,2,-1,5)
Si trovi una base di S e si calcolino le componenti di u = (1,1,1,1) rispetto a tale base.
Tralasciando i calcoli risulta che v1 e v2 sono accettabili come componenti della base, mentre v3 e v4, sono c.l. di v1 e v2.
a questo punto ho pensato di aggiugnere a questi due vettori, i vettori della base canonica e1,e2,e3,e4, dai calcoli mi risulta che v1, v2, e1, e2 sono linearmente indipendenti, e che quindi possono comporre una base per S.
Tuttavia la soluzione al problema si ferma allo step precedente, cioè semplicemente, scartati v3 e v4, dice che la base per S sono v1 e v2.
Ho provato a darmi una spiegazione, ed effettivamente dimS=2, quindi dovrebbero essere sufficienti due vettori per comporne una base.
è giusto ho c'è qualche altra ragione?
Risposte
"Flamber":
Ho provato a darmi una spiegazione, ed effettivamente dimS=2, quindi dovrebbero essere sufficienti due vettori per comporne una base.
è giusto ho c'è qualche altra ragione?
No, è giusto. Infatti è evidente che $L(v_1 , v_2 , v_3 , v_4) = L(v_1 , v_2)$ perché $v_1 , v_2$ bastano a generare tutto $S$ (hai scartato gli altri in modo da avere una base).
Ciò che hai fatto tu aggiungendo $e_1 , e_2$ è completare $\{v_1 , v_2\}$ ad una base di $RR^4$ (teorema di completamento ad una base).
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