Ricerca di autovalori, autovettori e autospazi

[Nighthawk1]

Buonasera,
vorrei proporvi un esercizio d'esame che non so svolegere in completezza:

Sia $f: RR^4 -> RR^4$ un endomorfismo tale che $f(1,0,0,0) = (2,0,0,0), f(0,1,0,0) = (0,0,0,0), f(0,0,1,0) = (1,2,0,0), f(0,0,0,1) = (0,3,1,0)$ determinare la $f$ e dire se è diagonalizzabile. Esistono autovalori reali per $f$? Se si quali? Esistono autovettori reali per $f$? Determinare almeno due autospazi di $f$ ed una base per ciascuno di essi.

Ho proceduto in questo modo:

La matrice relativa all'applicazione lineare è servita su un piatto d'argento, ed è:

$A = [[2,0,1,0],[0,0,2,3],[0,0,0,1],[0,0,0,0]]$

mentre il polinomio caratteristico è $(2-\lambda)(-\lambda^3)$, da cui è immediato ricavare i due autovalori $\lambda_1 = 0, \lambda_2 = 2$. A questo punto, per cercare i relativi autovettori, ho impostato il sistema $(A-\lambdaId)(x,y,z,t) = (0,0,0,0)$ per $\lambda_1$ e $\lambda_2$ da cui ho ottenuto i due autovettori $v_1 = (0,1,0,0), v_2 = (1,0,0,0)$. A questo punto non so come continuare.

Grazie in anticipo per l'attenzione

[Magma1]

"Nighthawk":

$f: RR^4 -> RR^4$

$f(1,0,0,0) = (2,0,0,0) qquad f(0,1,0,0) = (0,0,0,0)$
$f(0,0,1,0) = (1,2,0,0) qquad f(0,0,0,1) = (0,3,1,0)$

Un autovettore è un vettore (non nullo) multiplo di se stesso:

$f(e_1)=2\cdot e_1 ;qquad f(e_2)=0 cdot e_2$

quindi $e_1$ ed $e_2$ sono autovettori rispettivamente per gli autovalori $2,0$, ma $f$ non è diagonalizzabile in quanto

$Alg(0)=3 ne 1=g(0)$

infatti il sistema lineare omogeneo

$[[2,0,1,0],[0,0,2,3],[0,0,0,1],[0,0,0,0]] ((x),(y),(z))=((0),(0),(0))$

ammette $oo^1$ soluzioni oppure, equivalentemente, si può osservare che

$g(lambda)=dim(RR^n)-r(A-lambdaI)$

in questo caso si pone $n=4, qquad lambda=0$.

[Nighthawk1]

Scusa, ma non riesco a seguirti. Al di là delle definizioni, credo di non aver commesso errori nel calcolo di autovalori ed autovettori (se ne avessi fatti, ti sarei grato me li facessi notare). Il mio problema è nel trovare gli autospazi di $f$.

Edit: Ragionandoci meglio, considerato anche quanto da te detto, è corretto dire che un generico autovettore di $\lambda_1$ è $\alpha(0,1,0,0)$ e un autospazio a esso relativo è generato da $<(0,1,0,0)>$?

[Euclidino]

"Nighthawk":Il mio problema è nel trovare gli autospazi di $f$.

Hai ben trovato i autospazi. E poiché hai trovato che la somma della loro dimensione valeva 2 e non 4, l'endomorfismo non è diagonalizzabile.

[Magma1]

"Nighthawk":
è corretto dire che un generico autovettore di $\lambda_1$ è $\alpha(0,1,0,0)$ e un autospazio a esso relativo è generato da $<(0,1,0,0)>$?

È più corretto dire che se

$f(v)=lambdav, qquad (vnebar0) in V, lambda in RR$

allora $v$ è un autovettore per l'autovalore $lambda$. Ora affermare che $v$ generi

$V_lambda:={v in V : f(v)-lambdav=0}$

non è detto che sia sempre vero: infatti dato che deve valere la seguente relazione

$1<=dim(V_lambda)<=Alg(lambda)$

per $Alg(lambda)>1$, può succedere che sia abbia $dim(V_lambda)>1$ e in questo caso un singolo autovettore non sarebbe sufficiente a generare il relativo autospazio.

[Nighthawk1]

Continuo a non capire. La dimensione dell'autospazio è definita dalla molteplicità geometrica dell'autovalore. Essendo in questo caso $m_(g)(\lambda_1) = 1 -> dim(V_1) = 1$, pertanto la relativa base avrà cardinalità 1. Non capisco perché fai riferimento alla molteplicità algebrica.

[Magma1]

Ricominciamo da capo:

"Nighthawk": […] A questo punto non so come continuare.

Per fare cosa? Secondo te $f$ è diagonalizzabile? Perchè?

"Nighthawk": La dimensione dell'autospazio è definita dalla molteplicità geometrica dell'autovalore.

Per quanto ne sappia io è il contrario, ovvero:

$g(lambda):=dim(V_lambda)$

"Nighthawk":
Non capisco perché fai riferimento alla molteplicità algebrica.

Per farti notare che non è sufficiente conoscere un autovettore, relativo ad un autovalore, per affermare che esso generi l'autospazio $V_lambda$, in quando tale autospazio può necessitare di più autovettori per essere generato. Inoltre per il fatto che non necessariamente si ha

$Alg(lambda)=g(lambda), qquad AA lambda$

anzi, è la condizione necessaria e sufficiente affinché un endomorfismo sia diagonalizzabile: proprio in questo caso hai che $f$ non è diagonalizzabile in quanto $Alg(0)ne g(0)$.

[Euclidino]

"Nighthawk":Continuo a non capire. La dimensione dell'autospazio è definita dalla molteplicità geometrica dell'autovalore.

E' falso. La dimensione dell'autospazio è ***inferiore*** o uguale alla molteplicità dell'autovalore. Questo è ben quello che hai trovato nel tuo esercizio.

[Nighthawk1]

"Euclidino":[quote="Nighthawk"]Continuo a non capire. La dimensione dell'autospazio è definita dalla molteplicità geometrica dell'autovalore.

E' falso. La dimensione dell'autospazio è ***inferiore*** o uguale alla molteplicità dell'autovalore. Questo è ben quello che hai trovato nel tuo esercizio.[/quote]

Definizione: Sia $f: V -> V$ lineare con $dim(V) < oo$. Sia $p_(f)(x)$ il polinomio caratteristico di $f$. Sia $\lambda in K$ un autovalore di $f$ così che $P_(f)(\lambda) = 0$ e quindi $x − \lambda$ divide il polinomio caratteristico di $f$ per il teorema di Ruffini. Allora la molteplicità geometrica di $\lambda$ inquanto autovalore di $f$ è la dimensione dell'autospazio corrispondente a $\lambda$, quindi la dimensione del nucleo di $f − \lambda*id(v)$.

Teorema: Sia $f: V -> V$ lineare e sia $V$ finitodimensionale. Sia $\lambda in K$ autovalore di $f$, allora la molteplicità geometrica di $\lambda$ è sempre minore o uguale della molteplicità algebrica.

Fonte: https://it.wikitolearn.org/Corso:Algebr ... geometrica

Credo che tu ti stia confondendo con la molteplicità algebrica, io faccio riferimento alla molteplicità geometrica. Inoltre, nel caso da me proposto, $m_(g)(\lambda_1) = n - rk(A - \lambda_(1)(Id)) = 4 - 3 = 1$, appunto pari alla dimensione dell'autospazio relativo a $\lambda_1$.

[Nighthawk1]

"Magma":Ricominciamo da capo:
[quote="Nighthawk"] […] A questo punto non so come continuare.

Per fare cosa? Secondo te $f$ è diagonalizzabile? Perchè?

"Nighthawk": La dimensione dell'autospazio è definita dalla molteplicità geometrica dell'autovalore.

Per quanto ne sappia io è il contrario, ovvero:

$g(lambda):=dim(V_lambda)$

"Nighthawk":
Non capisco perché fai riferimento alla molteplicità algebrica.

Per farti notare che non è sufficiente conoscere un autovettore, relativo ad un autovalore, per affermare che esso generi l'autospazio $V_lambda$, in quando tale autospazio può necessitare di più autovettori per essere generato. Inoltre per il fatto che non necessariamente si ha

$Alg(lambda)=g(lambda), qquad AA lambda$

anzi, è la condizione necessaria e sufficiente affinché un endomorfismo sia diagonalizzabile: proprio in questo caso hai che $f$ non è diagonalizzabile in quanto $Alg(0)ne g(0)$.

[/quote]

Sono d'accordo sul risultato relativo alla diagonalizzazione, i miei problemi riguardano la determinazione dell'autospazio. Fin'ora sui testi ho sempre trovato affermare che la molteplicità geometrica di un autovalore corrisponda alla dimensione dell'autospazio relativo a tale autovalore. Al di là della veridicità di tale proposizione, trovato un autovalore, qual è il procedimento corretto da applicare per determinare l'autospazio ad esso relativo?

[Magma1]

"Nighthawk":[…] la molteplicità geometrica di un autovalore corrisponda alla dimensione dell'autospazio relativo a tale autovalore.

Esatto . Ma è diverso da quanto avevi detto in precedenza:

"Nighthawk":La dimensione dell'autospazio è definita dalla molteplicità geometrica dell'autovalore.

"Nighthawk": trovato un autovalore, qual è il procedimento corretto da applicare per determinare l'autospazio ad esso relativo?

Il procedimento classico equivale alla ricerca di una base del $ker(f_lambda)$, ovvero alla risoluzione di un sistema lineare omogeneo:

$(A-lambdaI)X=bar0$

come hai ben fatto tu stesso. Ora, ti manca di dire se $f$ sia diagonalizzabile o meno.

[Nighthawk1]

Perfetto! $f$ non è diagonalizzabile in quanto, sebbene $m_(a)(\lambda_1) + m_(a)(\lambda_2) = 3 + 1 = n = 4$ e $m_(a)(\lambda_2) = 1 = m_(g)(\lambda_2)$, $m_(a)(\lambda_1) != m_(g)(\lambda_1)$. Tutto è nato da un'affermazione che ho espresso con troppa "leggerezza".

[Magma1]

"Nighthawk":$f$ non è diagonalizzabile in quanto, $m_(a)(\lambda_1) != m_(g)(\lambda_1)$.

Perfetto!

[Euclidino]

"Nighthawk":
Fin'ora sui testi ho sempre trovato affermare che la molteplicità geometrica di un autovalore corrisponda alla dimensione dell'autospazio relativo a tale autovalore.

E' la definizione della molteplicità geometrica.

"Nighthawk":Qual è il procedimento corretto da applicare per determinare l'autospazio ad esso relativo?

Se $\lambda$ è une autovalore di $A$, risolvi il sistema $(A - \lambda I)x = 0$. Questo è esattamente ciò che hai fatto per risolvere il tuo esercizio.