Ricerca dei punti reali di una quadrica
In vista della prova scritta di geometria II, sto svolgendo alcuni esercizi riguardanti la classificazione delle quadriche. In virtù di ciò, ho una perplessità da proporvi: qual è il modo più rapido per trovare i punti reali di una quadrica Q?
In particolare, una volta esaminata la matrice A della quadrica e stabilito se essa sia a punti iperbolici o ellittici, procedo con l'analisi del minore composto dalle prime tre righe e dalle prime tre colonne di A, per studiare l'intersezione di Q con il piano improprio. Bene, se tale intersezione corrisponde ad una iperbole, allora posso essere sicuro che la mia quadrica Q è un iperboloide. Invece, se la conica impropria è una ellisse, devo capire se questa ellisse ha o meno punti reali, per procedere alla classificazione della quadrica.
Premessa la coerenza del mio ragionamento (vi prego di farmi notare eventuali imprecisioni), vi ripropongo la domanda iniziale. Come posso procedere per la ricerca dei punti reali?
In particolare, una volta esaminata la matrice A della quadrica e stabilito se essa sia a punti iperbolici o ellittici, procedo con l'analisi del minore composto dalle prime tre righe e dalle prime tre colonne di A, per studiare l'intersezione di Q con il piano improprio. Bene, se tale intersezione corrisponde ad una iperbole, allora posso essere sicuro che la mia quadrica Q è un iperboloide. Invece, se la conica impropria è una ellisse, devo capire se questa ellisse ha o meno punti reali, per procedere alla classificazione della quadrica.
Premessa la coerenza del mio ragionamento (vi prego di farmi notare eventuali imprecisioni), vi ripropongo la domanda iniziale. Come posso procedere per la ricerca dei punti reali?
Risposte
Facciamo un esempio. Sia data la quadrica di equazione:
$Q: -x^2 + 4y^2 + z^2 - 2xt + 4yt$
Si vede che il rango della matrice A associata alla quadrica è 3 ed, inoltre, il rango della matrice associata alla conica di intersezione col piano improprio è 3. Si tratta, dunque, di un cono. Tuttavia, come è possibile stabilire se questo cono è un cono reale (dunque dotato di punti reali) o immaginario?
$Q: -x^2 + 4y^2 + z^2 - 2xt + 4yt$
Si vede che il rango della matrice A associata alla quadrica è 3 ed, inoltre, il rango della matrice associata alla conica di intersezione col piano improprio è 3. Si tratta, dunque, di un cono. Tuttavia, come è possibile stabilire se questo cono è un cono reale (dunque dotato di punti reali) o immaginario?
Direi che per il cono non esiste il problema reale/immaginario.
A parte traslazioni, omotetie e rotazioni varie che fanno impazzire, un cono è $x^2+y^2-z^2=0$.
Con i segni puoi giocare come vuoi che hai sempre delle soluzioni.
Ad es. se hai + - +, hai un cono sull'asse y, - + - è sempre un cono sull'asse y, perchè puoi sempre moltiplicare l'equazione per $-1$.
Il problema ce l'hai, se non vado errato, solo con gli ellissoidi, e quindi con le quadriche degeri, cioè cilindri di tipo parabolico e ellittico, ma in questi casi ricadi nello studio delle coniche.
ok ?
A parte traslazioni, omotetie e rotazioni varie che fanno impazzire, un cono è $x^2+y^2-z^2=0$.
Con i segni puoi giocare come vuoi che hai sempre delle soluzioni.
Ad es. se hai + - +, hai un cono sull'asse y, - + - è sempre un cono sull'asse y, perchè puoi sempre moltiplicare l'equazione per $-1$.
Il problema ce l'hai, se non vado errato, solo con gli ellissoidi, e quindi con le quadriche degeri, cioè cilindri di tipo parabolico e ellittico, ma in questi casi ricadi nello studio delle coniche.
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