Ricerca base con dimensione del ker nulla

[cristina_nana1]

Ciao a tutti!:-) a breve ho un esame di matematica e riguardando gli esercizi di algebra lineare mi é venuto un dubbio. Ho una tipologia di esercizi in cui devo calcolare la dimensione ed una base del sottospazio immagine e del sottospazio kernel. Il dubbio é: quando la dimensione del ker é nulla, ha senso calcolare una sua base? Nel caso calcolassi una sua base e la dim(ker(f)) =0 é un errore? La mia prof non ha spiegato tale eventualità, ma tra gli esami passati ci sono anche esercizi del genere :/

[gugo82]

"cristina_nana":quando la dimensione del ker é nulla, ha senso calcolare una sua base?

No.
Perché, secondo te?

"cristina_nana":Nel caso calcolassi una sua base e la dim(ker(f)) =0 é un errore?

Sì, ed anche grave.

"cristina_nana":La mia prof non ha spiegato tale eventualità, ma tra gli esami passati ci sono anche esercizi del genere :/

I libri e lo studio in autonomia esistono per questo.

[cristina_nana1]

Perfetto, se la dim é 0 vuol dire per caso che non ci sono vettori su $R^n$ che generano il sottospazio ker? Magari ho detto una mega cavolata, ma meglio qui che all'esame Grazie per avermi risposto!

[gugo82]

"cristina_nana":Perfetto, se la dim é 0 vuol dire per caso che non ci sono vettori su $R^n$ che generano il sottospazio ker? Magari ho detto una mega cavolata, ma meglio qui che all'esame Grazie per avermi risposto!

Giusto.

Detto alla buona, puoi ragionare come segue.
Per definizione, \(\dim W\) è il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che generano il sottospazio \(W\); ora, dentro il sottospazio nullo \(\{\mathbf{0}\}\) non ci sono vettori indipendenti (il vettore nullo non è un vettore buono!), quindi per definizione \(\dim \{\mathbf{0}\} =0\).
D'altra parte, una base del sottospazio \(W\) è per definizione un sistema di generatori linearmente indipendenti; detto ciò, dentro il sottospazio nullo \(\{\mathbf{0}\}\) non ci sono sistemi di generatori indipendenti (c'è solo il vettore nullo, che non serve!), quindi non è possibile costruire alcuna base di \(\{\mathbf{0}\}\).

[cristina_nana1]

Ottimo!! Ancora grazie Buona notte.