Ricerca autovettori e autospazi di un'applicazione lineare
Salve,
sto riscontrando qualche problema a trovare una soluzione "veloce" a questo problema:
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 2x2 a coefficienti in R. Determinare gli autovalori e i relativi autospazi dell’endomorfismo $ f $ in V:
$ f(X)=AXA^-1 $
dove $ A=( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 ) ) $
La soluzione più naturale che mi viene in mente è quella di considerare la matrice B associata all'applicazione lineare $ f $; ovvero quella ha come colonne:
\( B^i=F_\varepsilon (f(M_i)) \)
dove $ M_i $ è l'i-esimo vettore della base canonica di V, e \( F_\varepsilon \) è l'isomorfismo che associa un vettore di $ R^4 $ alla matrice.
Una volta trovata questa matrice risulta facile trovare gli autovalori e i corrispondenti autovettori, chiaramente restando sempre nello spazio isomorfo.
Quello che mi chiedo è: esiste una soluzione meno laboriosa e possibilmente più elegante?
Grazie in anticipo per la risposta.
sto riscontrando qualche problema a trovare una soluzione "veloce" a questo problema:
Sia V lo spazio vettoriale delle matrici 2x2 a coefficienti in R. Determinare gli autovalori e i relativi autospazi dell’endomorfismo $ f $ in V:
$ f(X)=AXA^-1 $
dove $ A=( ( 1 , 2 ),( 0 , 1 ) ) $
La soluzione più naturale che mi viene in mente è quella di considerare la matrice B associata all'applicazione lineare $ f $; ovvero quella ha come colonne:
\( B^i=F_\varepsilon (f(M_i)) \)
dove $ M_i $ è l'i-esimo vettore della base canonica di V, e \( F_\varepsilon \) è l'isomorfismo che associa un vettore di $ R^4 $ alla matrice.
Una volta trovata questa matrice risulta facile trovare gli autovalori e i corrispondenti autovettori, chiaramente restando sempre nello spazio isomorfo.
Quello che mi chiedo è: esiste una soluzione meno laboriosa e possibilmente più elegante?
Grazie in anticipo per la risposta.
Risposte
Incredibile che abbia sbagliato a scriverlo due volte su due 
Ad ogni modo, grazie per la risposta.
Ad ogni modo, grazie per la risposta.
Esiste un solo autospazio relativo all'autovalore 1 e di dimensione 2.
Una base di autovettori è banalmente ${A, A^(-1)}$ oppure ${I, e_2}$
Non c'è bisogno di trovare F.
Chiamiamo F la matrice associata all'applicazione lineare, allora: $FX=AXA^(-1)$
Cerchiamo degli autovettori $ V=( ( a , b ),( c , d ) ) $ perciò $FV=lambdaV=AVA^(-1)$ da cui $lambdaVA=AV$
E' già evidente che fissato $lambda=1$ e $V=A$ oppure $V=A^(-1)$ oppure $V=I=1/2(A+A^(-1))$ o infine $V=A^n$ il sistema ha soluzione...ma NON è un buon modo per provare che esistono solo due autovettori associati a $lambda=1$ e nemmeno che ha soluzione solo per $lambda=1$.
Meglio esplicitare il sistema facendo i conti e uguagliando le componenti di $lambdaVA=AV$, ovvero:
$ { ( lambdaa=a+2c ),( lambda(2a+b)=b+2d ),( lambdac=c ),( lambda(2c+d)=d ):} $
Dalla terza equazione, sia considerando $lambda=0$ oppure $lambda!=0,1$ otteniamo che $a=b=c=d=0$ e la matice nulla non è accettabile. Pertanto il sistema ha soluzione solo e unicamente per $lambda=1$.
Da cui $ V=( ( a , b ),( 0 , a ) ) =aI +be_2 $
Da qui si nota che effettivamente l'autospazio ha dimensione 2.
Volendo adesso si può notare che effettivamente anche $A, A^(-1) e A^n$ sono autovettori per $lambda=1$...ma ora sappiamo che possiamo sceglierne solo due perchè gli altri saranno sempre una loro comb. lineare (provalo!).
Una base di autovettori è banalmente ${A, A^(-1)}$ oppure ${I, e_2}$
Non c'è bisogno di trovare F.
Chiamiamo F la matrice associata all'applicazione lineare, allora: $FX=AXA^(-1)$
Cerchiamo degli autovettori $ V=( ( a , b ),( c , d ) ) $ perciò $FV=lambdaV=AVA^(-1)$ da cui $lambdaVA=AV$
E' già evidente che fissato $lambda=1$ e $V=A$ oppure $V=A^(-1)$ oppure $V=I=1/2(A+A^(-1))$ o infine $V=A^n$ il sistema ha soluzione...ma NON è un buon modo per provare che esistono solo due autovettori associati a $lambda=1$ e nemmeno che ha soluzione solo per $lambda=1$.
Meglio esplicitare il sistema facendo i conti e uguagliando le componenti di $lambdaVA=AV$, ovvero:
$ { ( lambdaa=a+2c ),( lambda(2a+b)=b+2d ),( lambdac=c ),( lambda(2c+d)=d ):} $
Dalla terza equazione, sia considerando $lambda=0$ oppure $lambda!=0,1$ otteniamo che $a=b=c=d=0$ e la matice nulla non è accettabile. Pertanto il sistema ha soluzione solo e unicamente per $lambda=1$.
Da cui $ V=( ( a , b ),( 0 , a ) ) =aI +be_2 $
Da qui si nota che effettivamente l'autospazio ha dimensione 2.
Volendo adesso si può notare che effettivamente anche $A, A^(-1) e A^n$ sono autovettori per $lambda=1$...ma ora sappiamo che possiamo sceglierne solo due perchè gli altri saranno sempre una loro comb. lineare (provalo!).
"Bokonon":
Esiste un solo autospazio relativo all'autovalore 1 e di dimensione 2.
Una base di autovettori è banalmente ${A, A^(-1)}$ oppure ${I, e_2}$
Grazie per la risposta. La soluzione è identica a quella trovata attraverso il metodo da me esposto.
La mia domanda non era inerente alla soluzione ma al metodo che utilizzi per trovarla.
Stavo scrivendo e per sbaglio ho fatto invia. Ho modificato il messaggio precedente per completarlo.
"Bokonon":
Stavo scrivendo e per sbaglio ho fatto invia. Ho modificato il messaggio precedente per completarlo.
Ciao ho letto ora la risposta completa. Effettivamente mi sembra meno laboriosa di quella da me elaborata, considerando che nella mia soluzione, oltre a trovare le 4 colonne della matrice associata all'applicazione lineare, avrei anche dovuto ricavare il polinomio caratteristico attraverso il determinante di una matrice 4x4.
L'unica punto non chiaro è la parte finale in cui mi chiedi di provare che posso scegliere solo 2 autovettori tra \( A, A^n \) e $ A^-1 $, non basta notare che $ A^-1 $ e $ A $ sono linearmente indipendenti?
"ihategoto":
L'unica punto non chiaro è la parte finale in cui mi chiedi di provare che posso scegliere solo 2 autovettori tra \( A, A^n \) e $ A^-1 $, non basta notare che $ A^-1 $ e $ A $ sono linearmente indipendenti?
E come fai sapere che anche un $A^n$ con $n in ZZ$ non sia un terzo autovettore indipendente?
Sono tutti e tre autovettori dell'autospazio $ V_1 $ che ha dimensione due. Se pongo $ B = {A, A^-1} $ ottengo una base di $ V_1 $ e visto che $ A^n in V_1 $ $ A^n $ è combinazione lineare dei vettori della base. E' un ragionamento sbagliato?
E' quello che devi dimostrare.
In generale non è vero ma nel caso particolare si può dimostrare che:
$A^n=(1+n)/2A+(1-n)/2A^(-1)$ e $[A^(-1)]^n=(1-n)/2A+(1+n)/2A^(-1)$ per $n>1$
In generale non è vero ma nel caso particolare si può dimostrare che:
$A^n=(1+n)/2A+(1-n)/2A^(-1)$ e $[A^(-1)]^n=(1-n)/2A+(1+n)/2A^(-1)$ per $n>1$
Ma il fatto che $ A^n $ faccia parte di $ V_1 $ non ci assicura che sia esprimibile come una combinazione lineare di una base dell'autospazio stesso, che in questo caso possiamo porre $ B = {A, A^-1} $?
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