Ricerca autovettori

[Sandokan85]

Ciao a tutti,
Mi scuso in anticipo per la banalità della richiesta, ma sto impazzendo su questo esercizio da tutta la mattina.

Matrice A = $((0,1),(-1,-1))$

Autovalori trovati $ \lambda_1 = -1/2 + sqrt(3)/2 i $ ; $ \lambda_2 = -1/2 - sqrt(3)/2 i $

Imposto il sistema: $(A-\lambda_iI)v_i= 0$ dove $v_i$ è l'$i$-esimo autovettore del rispettivo autovalore.

il risultato di questo sistema è $v_i = (0,0)$ invece io so (tramite software) che gli autovettori sono i seguenti:

$v_1 = (sqrt(2)/2 , -sqrt(2)/4 + sqrt(6)/4 ) $

$v_2 = (sqrt(2)/2 , -sqrt(2)/4 - sqrt(6)/4i) $

Mi spiegate per favore come trovarli dal sistema?
grazie infinite a chiunque mi risponderà

[minomic]

Ciao, prendiamo ad esempio $\lambda_1 = -1/2 + sqrt(3)/2i$. La matrice diventa $$
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i & 1\\
-1 & -\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i
\end{pmatrix}
$$ Sicuramente le due righe saranno linearmente dipendenti (siamo arrivati qui imponendo che il determinante fosse nullo) quindi possiamo limitarci a risolvere una delle due. Ad esempio dalla prima possiamo dire $$
y = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}\right)x
$$ quindi il vettore delle soluzioni sarà fatto in questo modo: $$
\begin{pmatrix}
x\\
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}\right)x
\end{pmatrix} = x\begin{pmatrix}
1\\\frac{\sqrt{3}}{2}i-\frac{1}{2}
\end{pmatrix}
$$ Questa soluzione è già corretta. Se invece vuoi lo stesso risultato del software ti basta scegliere $x = sqrt(2)/2$ e trovare la corrispondente $y$.
Analogamente per l'autovalore $\lambda_2$.
Fai sapere se hai altri dubbi.