Ricavare matrice di trasformazione
Ciao a tutti, sto cercando di risolvere questo esercizio che mi sta facendo impazzire, ma non so' proprio come procedere...
Partiamo dal punto a:
So' che per ricavare una trasformazione lineare di un angolo θ in senso antiorario intorno all'origine nel piano in 2 dimensioni posso applicare la matrice
$[(cos\theta, -sin\theta ),(sin\theta,cos\theta )]$
ma non so' come applicare una simile trasformazione nello spazio, o meglio non conosco un procedimento analogo che mi permetta di ricavare l'applicazione lineare avendo un solo vettore $v=(1,0,0)$ e $f(v)=(0,1,1)$
Avete qualche idea?
Partiamo dal punto a:
So' che per ricavare una trasformazione lineare di un angolo θ in senso antiorario intorno all'origine nel piano in 2 dimensioni posso applicare la matrice
$[(cos\theta, -sin\theta ),(sin\theta,cos\theta )]$
ma non so' come applicare una simile trasformazione nello spazio, o meglio non conosco un procedimento analogo che mi permetta di ricavare l'applicazione lineare avendo un solo vettore $v=(1,0,0)$ e $f(v)=(0,1,1)$
Avete qualche idea?
Risposte
Immagina di stare nel piano Z=1 e di operare una rotazione di 90 gradi intorno all'origine
perchè ti vuoi complicare la vita con una matrice? usa un po di immaginazione no?
perchè ti vuoi complicare la vita con una matrice? usa un po di immaginazione no?
Secondo il tuo ragionamento e stando sul tuo grafico posso far ruotare anche il vettore (1,0,1) in (0,1,1) o sbaglio? Forse non riesco a capire qual è la consegna....
Per trovare l'applicazione ho per ora 2 vettori:
$T(1,1,1)=(-1,1,1)$ ricavato da te e $T(1,0,0)=(0,1,1)$ ricavato dal testo. Mi servirebbe un terzo vettore indipendente da $v_1=(1,1,1)$ e $v_2=(1,0,0)$ giusto?
dal ragionamento sopra avrei ottenuto anche il terzo vettore $v_3=(1,0,1)$ ma c'è qualcosa che non mi quadra visto che $T(v_3)=T(v_2)=(0,1,1)$ ma così non sarebbe un'applicazione...
P.S.
Che programma in particolare hai usato per il disegno?
Per trovare l'applicazione ho per ora 2 vettori:
$T(1,1,1)=(-1,1,1)$ ricavato da te e $T(1,0,0)=(0,1,1)$ ricavato dal testo. Mi servirebbe un terzo vettore indipendente da $v_1=(1,1,1)$ e $v_2=(1,0,0)$ giusto?
dal ragionamento sopra avrei ottenuto anche il terzo vettore $v_3=(1,0,1)$ ma c'è qualcosa che non mi quadra visto che $T(v_3)=T(v_2)=(0,1,1)$ ma così non sarebbe un'applicazione...
P.S.
Che programma in particolare hai usato per il disegno?
Guarda da come ho capito io non ti chiede di ruotare nient'altro, devi solo prendere un vettore indipendente da $ v_1 $ e $ v_2 $ e assegnargli un vettore indipendente da $ T(v_1) $ e $ T(v_2) $. Per esempio potresti porre $ T(0,0,1)=(0,0,1) $. Tanto devi trovare un' applicazione qualsiasi... non una in particolare...
P.S. LibreOffice Draw, sicuramente in giro esiste di meglio ma per me è sufficiente questo...
P.S. LibreOffice Draw, sicuramente in giro esiste di meglio ma per me è sufficiente questo...
Innanzitutto grazie delle dritte....
Allora, sono sempre più "perplesso"
Mi fido di te, quindi ho i miei 3 vettori indipendenti del dominio e del codominio:
$T(1,1,1)=(-1,1,1)$
$T(1,0,0)=(0,1,1)$
$T(0,0,1)=(0,0,1)$
per aiutarci:
$v_1=(1,1,1)$
$v_2=(1,0,0)$
$v_3=(0,0,1)$
e ho la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi del dominio $v_1,v_2,v_3$
A questo punto, vorrei trovare la matrice dell'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche, per far ciò mi manca solo il vettore $(0,1,0)$ che posso scrivere come combinazione lineare dei 3 vettori indipendenti $v_1,v_2,v_3$:
$(0,1,0)=1*(1,1,1)-1*(1,0,0)-1*(0,0,1)$
trovate le coordinate $1,-1,-1$ lavoro con le immagini dei vettori $T(v_1),T(v_2),T(v_3)$ e trovo:
$T(0,1,0)=1*(-1,1,1)-1*(0,1,1)-1*(0,0,1)=(-1,0,-1)$
Ora che ho le immagini rispetto alle basi canoniche di $\mathbb{R}^3$ posso scrivere l'applicazione nella forma che richiede $f(x,y,z)$:
ricapitolando:
$T(1,0,0)=(0,1,1)$
$T(0,1,0)=(-1,0,-1)$
$T(0,0,1)=(0,0,1)$
da cui $f(x,y,z)=(-y,x,x-y+z)$
proviamo con $f(1,1,1)=(-1,1,1)$ come volevasi dimostrare...
Spero che il procedimento sia giusto, dimmi se sbaglio!
A questo punto non so' se ho risposto in modo completo ai quesiti $a$ e $b$ del testo...
Allora, sono sempre più "perplesso"
Mi fido di te, quindi ho i miei 3 vettori indipendenti del dominio e del codominio:
$T(1,1,1)=(-1,1,1)$
$T(1,0,0)=(0,1,1)$
$T(0,0,1)=(0,0,1)$
per aiutarci:
$v_1=(1,1,1)$
$v_2=(1,0,0)$
$v_3=(0,0,1)$
e ho la matrice associata ad $f$ rispetto alle basi del dominio $v_1,v_2,v_3$
A questo punto, vorrei trovare la matrice dell'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche, per far ciò mi manca solo il vettore $(0,1,0)$ che posso scrivere come combinazione lineare dei 3 vettori indipendenti $v_1,v_2,v_3$:
$(0,1,0)=1*(1,1,1)-1*(1,0,0)-1*(0,0,1)$
trovate le coordinate $1,-1,-1$ lavoro con le immagini dei vettori $T(v_1),T(v_2),T(v_3)$ e trovo:
$T(0,1,0)=1*(-1,1,1)-1*(0,1,1)-1*(0,0,1)=(-1,0,-1)$
Ora che ho le immagini rispetto alle basi canoniche di $\mathbb{R}^3$ posso scrivere l'applicazione nella forma che richiede $f(x,y,z)$:
ricapitolando:
$T(1,0,0)=(0,1,1)$
$T(0,1,0)=(-1,0,-1)$
$T(0,0,1)=(0,0,1)$
da cui $f(x,y,z)=(-y,x,x-y+z)$
proviamo con $f(1,1,1)=(-1,1,1)$ come volevasi dimostrare...
Spero che il procedimento sia giusto, dimmi se sbaglio!
A questo punto non so' se ho risposto in modo completo ai quesiti $a$ e $b$ del testo...
Bravo! 
30 e lode...
30 e lode...
Grazie a te!
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