Ricavare generatori da equazioni cartesiane.

[thedarkhero]

Sia $U$ sottospazio di $RR^4$ definito dal sistema:
$\{(x_1+2x_2-x_3-2x_4=0),(x_1-2x_4=0),(2x_1-2x_2+x_3-4x_4=0):}$
La terza equazione è linearmente dipendente dalle altre due quindi la escludo.
$\{(x_1+2x_2-x_3-2x_4=0),(x_1-2x_4=0):}$
La seconda equazione di può riscrivere come $x_1=2x_4$, pongo $x_4=alpha$ e ottengo $x_1=2alpha$.
La prima equazione diventa quindi $2x_2-x_3-alpha=0$, pongo $x_2=beta$ e ottengo $x_3=2beta-alpha$.
Il generatore è quindi $((2alpha),(beta),(2beta-alpha),(alpha))$ ovvero $U=<((2),(0),(-1),(1)),((0),(1),(2),(0))>$.
Secondo il testo il generatore dovrebbe invece risultare $U=<((2),(0),(0),(1)),((0),(1),(2),(0))>$.

[franced]

"thedarkhero":
...
$\{(x_1+2x_2-x_3-2x_4=0),(x_1-2x_4=0):}$
La seconda equazione di può riscrivere come $x_1=2x_4$, pongo $x_4=alpha$ e ottengo $x_1=2alpha$.
La prima equazione diventa quindi $2x_2-x_3-alpha=0$, pongo $x_2=beta$ e ottengo $x_3=2beta-alpha$.
...

Hai commesso un errore.

La prima equazione diventa $2 x_2 - x_3 + x_1 - 2 x_4 = 0$
ma $x_1 - 2 x_4 = 0$ quindi abbiamo $2x_2 - x_3 = 0$
ponendo $x_2 = beta$ troviamo $x_3 = 2 beta$ .