Ricavare coordinate centro,raggio e punto tanza circonferenza con retta

[Galuc1]

Ciao a tutti! Sono un studente di ingegneria elettrica e mi sono imbattuto in un problema geometrico del genere che nn riesco a risolvere. Vi spiego brevemente la situazione: devo ricavare le coordinate del centro, raggio di una circonferenza e coordinate punto di tangenza della circonferenza con una retta nota.
A tale scopo si conosce:
1) equazione della retta tangente alla circonferenza: ax+by+c=0.
2) punto appartenente alla circonferenza P(xP,yP).
3) equazione su cui giàce il centro della circonferenza: y=mx+q.

Vi ringrazio in anticipo per le risposte che riceverò e per il lavoro che fate. Mi interessano i passaggi matematici generali per la risoluzione.

[anto_zoolander]

Visto che li chiedi generali, cerco di essere il più generale possibile.
NB: nella prima condizione ti serve il punto di tangenza, quindi suppongo che tale punto sia quello della seconda condizione

Dato uno spazio euclideo $(V,*)$ di dimensione $2$ su cui sia fissata una base ortonormale.
Dobbiamo trovare una $S_2(C,r)$ note:

vettorialmente

• $r:P+$ retta tangente a $S_2$ nel punto $P$
• $s:R+$ retta passante per il centro della circonferenza

Vogliamo mostrare che le coordinate $C(c_1,c_2)$ del centro sono le coordinate dell’intersezione tra la retta $s$ e la retta $n$ normale alla retta $r$ e passante per $P$

Ora siccome la retta $r$ è tangente alla circonferenza in $P$ allora si avrà che

•$r:P+_( o r t)$

Ovvero il vettore direttore della retta tangente è normale al vettore che congiunge il centro con il punto $P$
pertanto la retta normale ad $r$ sarà

• $n: P+$

quindi abbiamo che $C in n$ e $C in s$ quindi $C in r cap s$ dunque le due rette sono incidenti nel centro della circonferenza e generano un sottospazio affine di dimensione $dim(r cap s)=2-2=0$ ovvero un punto e tale punto abbiamo visto essere $C$.
Il raggio sarà $r=||CP||$

algebricamente

sia $r: ax+by+c=0$ la retta tangente alla sfera nel punto di coordinate $P(p_1,p_2)$
Poniamoci nel caso in cui $a,b$ sono non nulli.
ricaviamo $c=-ap_1-bp_2$

Otteniamo $y=-a/b x-c$
la retta normale passante per $P$ sarà quindi $y=b/a(x-p_1)+p_2$
Inoltre abbiamo visto precendemente che il centro si trova nella interazione.

${(y=b/a(x-p_1)+p_2),(y=mx+q):} => {(mx+q=b/a(x-p_1)+p_2),(y=mx+q):}$

Lavoro sulla prima:

$amx+qa=bx-bp_1+ap_2$
$x(am-b)=ap_2-bp_1-qa$

Ora se $am-bne0$ allora $x=(ap_2-bp_1-qa)/(am-b)$

Quindi avremo che $C((ap_2-bp_1-qa)/(am-b),m(ap_2-bp_1-qa)/(am-b)+q)$

Il raggio sarà $||CP||$

[Galuc1]

Per prima cosa, grazie per la risposta e per la ottima chiarezza espositiva!
Purtroppo però nel calcolo algebrico hai dato come note le coordinate del punto di tangenza alla circonferenza (p1,p2), ma io conosco solo la equazione della retta tangente, le coordinate del punto di tangenza sono una incognita che devo trovare.
Conosco però le coordinate di un punto qualsiasi su cui deve passare la circonferenza, che non corrisponde a quello di tangenza con la retta tangente data.

Ricapitolando, le 3 condizioni che mi vengono date sono le seguenti:
1)equazione della retta tangente alla circonferenza incognita;
2)equazione della retta su cui giace il centro della circonferenza.
3) coordinate di un punto qualsiasi che appartiene alla circonferenza (che non è quello di tangenza).

Grazie

[massimoaa]

Siano :
A) $y=mx+n$ l'equazione della tangente
B) $y=px+q$ l'equazione della retta contenente il centro della circonferenza richiesta
C) $P_o(x_o,y_o)$ il punto appartenente al circonferenza di cui prima.
Posto $C(a,b)$ il centro della circonferenza, deve essere :
(1) $b=pa+q$
Inoltre la distanza di C dalla tangente data deve essere uguale alla distanza tra C ed il punto $P_o$:
(2) $|ma-b+n|/{\sqrt(m^2+1)}=\sqrt{(a-x_o)^2+(b-y_0)}$
Mettendo a sistema (1) e (2) puoi calcolare le incognite $a,b$ e quindi tutto il resto.

[Galuc1]

Verissimo! Non mi è proprio venuto in mente fare un sistema del genere. Grazie! Per cui,calcolato le coordinate del centro,procederei cosi:
1- calcolo del raggio tramite distanZa punto punto
2- nota la equazione della circonferenza, pongo a sistema essa con eq della retta tangente e poi impongo la condizione di tangenza.
É corretto??