Rette tangenti principali a una cubica

[Vispissima]

Ciao a tutti, mi trovo di fronte ad un problema che non riesco a risolvere e spero qualcuno di voi mi possa aiutare:

Ho una cubica affine $ C: x^3 + xy^2 + x^2 + 2y^2 - x -1=0 $

Mi viene dato il punto non singolare $ Q=(-1,0) $
Una volta calcolato che la molteplicità di Q in C è 2 dovrei essere in grado di ricavare le rette tangenti principali a C in Q ma non capisco quale sia il metodo per ricavarle.

Grazie in anticipo per le vostre risposte

[Seneca1]

Un'idea, non la più standard (credo), è quella di traslare la cubica affine in modo che il nodo $Q$ venga ad essere l'origine del riferimento affine $O(0,0)$. A quel punto dovrebbe risultare evidente l'equazione del cono tangente (vedi qui: viewtopic.php?p=372873#p372873 ).

[Vispissima]

Grazie della risposta, comunque sono riuscita a trovare un metodo senza compiere una traslazione della conica, lo scrivo per i prossimi che potrebbero avere dubbi del genere, basta utilizzare questa formula:

$ C_(P_0) = [[(x-a) \partial_x |_((a,b))] + [(y-b) \partial_y |_((a,b))]]^m $
con $ m= m_(P_0)(C)= $ molteplicità del punto $ P_O=(a,b) $ in $ C $

in questo caso $ m=2 $ quindi si risolveva con questa formula

$ C_(P_0) = (x-a)^2 \partial_(x x)(a,b) +2(x-a)(y-b) \partial_(xy)(a,b) +(y-b)^2 \partial_(y y)(a,b) $

cioè $ C_(Q) = (x+1)^2 \partial_(x x)(-1,0) +2(x+1)(y) \partial_(xy)(-1,0) +(y-b)^2 \partial_(y y)(-1,0) $

calcolate
$ \partial_(x x)(-1,0) = -4 $
$ \partial_(xy)(-1,0) = 0 $
$ \partial_(y y)(-1,0) = 2 $

si ottiene quindi $ C_(Q) = (x+1)^2 (-4) +(y-b)^2 (2) $ cioè le due tangenti principali

$ y= \sqrt{2} (x+1) $
$ y= -\sqrt{2} (x+1) $