Rette sghembe nello spazio
Ciao a tutti 
stavo facendo qualche esercizio di geometria e algebra lineare... e tra i vari esercizi ho trovato:
Siano
r) $\{(x - y - z - 1 = 0),(x + 2y - z + 2 = 0):}$
s) $\{(3x - y + 3z + 3 = 0),(3x + 3y - 3z + 5 = 0):}$
due rette nello spazio.
1)verificare che sono sghembe
2)Determinare la distanza tra le due rette
Ora per il primo punto mi chiedevo se bastasse verificare che il determinante della matrice (4x4) i cui elementi sono i coefficenti delle 4 equazioni (che alla fine sono dei piani) sia diverso da zero, cioè le due rette non siano complanari. Il dubbio mi sorge perchè non sono sicuro che ciò elimini tutti i casi possibili;
Altrimenti come posso fare?
l'altra idea era quella di verificare che le due rette non sono ne parallele ne incidenti, quindi calcolare i vettori paralleli alle due rette, vedere se questi sono paralleli o meno e in tal caso scrivere le rette in forma parametrica, poi controllare che non abbiano punti di intersezione (cioè che non esistano valori dei parametri $t_1$ e $t_2$ che diano lo stesso punto, il che significherebbe risolvere un sistema rispetto ai 2 paramentri, e/o la matrice associata al sistema per verificare che il sistema sia irrisolvibile).
Per il 2) quesito pensavo di prendere due punti uno su r e l'altro in s, scriverne il vettore (che sarà parametrizzato in $t_1$ e $t_2$) e imporre l'ortogonalità di questo coi vettori paralleli alle rette (precedentemente calcolati).
risolto il sistema si ottengono i valori di $t_1$ e $t_2$ sostituire a i due punti e calcolarne la distanza.
Ma anche per questo secondo punto mi pare ci siano dei procedimenti diversi e forse più convenienti...
Poichè solitamente tendo a complicarmi la vita utilizzando idee e procedimenti lunghi e spesso inutili (e quindi ignorando le cose più semplici...) vi chiedo una mano nel caso ci siano altri metodi, magari più immediati o concettualmente più semplici;
così posso ottimizzare sia il tempo che lo studio e sopratutto capire!
Grazie a tutti
stavo facendo qualche esercizio di geometria e algebra lineare... e tra i vari esercizi ho trovato:
Siano
r) $\{(x - y - z - 1 = 0),(x + 2y - z + 2 = 0):}$
s) $\{(3x - y + 3z + 3 = 0),(3x + 3y - 3z + 5 = 0):}$
due rette nello spazio.
1)verificare che sono sghembe
2)Determinare la distanza tra le due rette
Ora per il primo punto mi chiedevo se bastasse verificare che il determinante della matrice (4x4) i cui elementi sono i coefficenti delle 4 equazioni (che alla fine sono dei piani) sia diverso da zero, cioè le due rette non siano complanari. Il dubbio mi sorge perchè non sono sicuro che ciò elimini tutti i casi possibili;
Altrimenti come posso fare?
l'altra idea era quella di verificare che le due rette non sono ne parallele ne incidenti, quindi calcolare i vettori paralleli alle due rette, vedere se questi sono paralleli o meno e in tal caso scrivere le rette in forma parametrica, poi controllare che non abbiano punti di intersezione (cioè che non esistano valori dei parametri $t_1$ e $t_2$ che diano lo stesso punto, il che significherebbe risolvere un sistema rispetto ai 2 paramentri, e/o la matrice associata al sistema per verificare che il sistema sia irrisolvibile).
Per il 2) quesito pensavo di prendere due punti uno su r e l'altro in s, scriverne il vettore (che sarà parametrizzato in $t_1$ e $t_2$) e imporre l'ortogonalità di questo coi vettori paralleli alle rette (precedentemente calcolati).
risolto il sistema si ottengono i valori di $t_1$ e $t_2$ sostituire a i due punti e calcolarne la distanza.
Ma anche per questo secondo punto mi pare ci siano dei procedimenti diversi e forse più convenienti...
Poichè solitamente tendo a complicarmi la vita utilizzando idee e procedimenti lunghi e spesso inutili (e quindi ignorando le cose più semplici...) vi chiedo una mano nel caso ci siano altri metodi, magari più immediati o concettualmente più semplici;
così posso ottimizzare sia il tempo che lo studio e sopratutto capire!
Grazie a tutti
Risposte
io sono fuori allenamento, e quindi forse proverei a fare come dici tu, ma per chi studia algebra lineare ci sarà una differenza tra "considerare due rette generiche sghembe" e "considerare 4 piani e le due rette che sono intersezioni rispettivamente dei primi due e dei restanti due"... se consideri il fascio individuato dai primi due piani ed il fascio individuato dai rimanenti due piani, se le due rette sono complanari il piano in comune deve appartenere ad entrambi i fasci... a tradurre in linguaggio algebrico però dovresti pensarci tu...
ciao.
ciao.
Grazie anzitutto per la risposta;
io avevo in testa il seguente ragionamento: due rette sghembe sono tali se non le contiene alcun piano; ergo non sono complanari; Oppure al contrario, se due rette sono incidenti o parallele stanno per forza nello stesso piano.
Se questo vale sempre e comunque nello spazio, allora dovrebbe bastare verificare che queste siano o meno complanari, cioè vedere se il determinante della matrice dei coefficenti delle rette è nullo o meno.
Però ne vorrei la matematica certezza, perchè calcolare un determinante di una matrice 4x4 è molto più veloce che fare tutto quel bordello che ho scritto
e nel prossimo esame di geometria ed algebra lineare sarebbe il caso di non sprecare troppo tempo (specie se l'esercizio è facilmente risolvibile).
Insomma alla ricerca di conferme e di una risoluzione standard e sicura
ancora Grazie
Luca
io avevo in testa il seguente ragionamento: due rette sghembe sono tali se non le contiene alcun piano; ergo non sono complanari; Oppure al contrario, se due rette sono incidenti o parallele stanno per forza nello stesso piano.
Se questo vale sempre e comunque nello spazio, allora dovrebbe bastare verificare che queste siano o meno complanari, cioè vedere se il determinante della matrice dei coefficenti delle rette è nullo o meno.
Però ne vorrei la matematica certezza, perchè calcolare un determinante di una matrice 4x4 è molto più veloce che fare tutto quel bordello che ho scritto
e nel prossimo esame di geometria ed algebra lineare sarebbe il caso di non sprecare troppo tempo (specie se l'esercizio è facilmente risolvibile).Insomma alla ricerca di conferme e di una risoluzione standard e sicura
ancora Grazie
Luca
Il fatto che due rette in uno spazio affine tridimensionale sono sghembe $iff$ non sono complanari è vero.
infatti: (sghembe)$iff$(non hanno la stessa giacitura ma nemmeno si incontrano) e questa cosa in un piano non può succedere;
viceversa: (complanari)$=>$(o sono parallele e distinte oppure si incontrano)$iff$(certamente non sono sghembe). Ma questo è proprio quello che avevi detto tu
!
Per l'altro fatto mi ricordo che c'è una formula... naturalmente non mi ricordo la formula ...
infatti: (sghembe)$iff$(non hanno la stessa giacitura ma nemmeno si incontrano) e questa cosa in un piano non può succedere;
viceversa: (complanari)$=>$(o sono parallele e distinte oppure si incontrano)$iff$(certamente non sono sghembe). Ma questo è proprio quello che avevi detto tu
!Per l'altro fatto mi ricordo che c'è una formula... naturalmente non mi ricordo la formula
...
eccola! l'ho trovata! se le rette sono $r,r_1$, di giacitura $\mathbf{a},\mathbf{a_1}$, passanti per $Q, Q_1$ allora:
$d(r,r_1)=(|(\mathbf{a}^^\mathbf{a_1})\cdot\(vec{Q Q_1})|)/(||\mathbf{a}^^\mathbf{a_1}||)$
(la formula l'ho presa dal Sernesi 1, pag.254)
Se vuoi posto la dimostrazione. Per quanto mi riguarda questa è una formula che non ricordo mai! Io personalmente seguirei il metodo che hai scritto tu prima, che sarà più lungo ma è più comprensibile.
$d(r,r_1)=(|(\mathbf{a}^^\mathbf{a_1})\cdot\(vec{Q Q_1})|)/(||\mathbf{a}^^\mathbf{a_1}||)$
(la formula l'ho presa dal Sernesi 1, pag.254)
Se vuoi posto la dimostrazione. Per quanto mi riguarda questa è una formula che non ricordo mai! Io personalmente seguirei il metodo che hai scritto tu prima, che sarà più lungo ma è più comprensibile.
non so se ci sono errori nel testo oppure nei miei calcoli, ma avrei trovato in maniera diretta r: $y=-1$, s: ( $y=-3x-4$, $y=(3z-1)/2$ ), per cui le rette sarebbero incidenti nel punto (-1; -1; -1/3)... ciao.
pardon, r: ( $y=-1$ , $x=z$ ), per cui ho sbagliato io nel dire che sono incidenti. però i calcoli diretti sono abbastanza semplici... ciao.
"dissonance":
$d(r,r_1)=(|(\mathbf{a}^^\mathbf{a_1})\cdot\(vec{Q Q_1})|)/(||\mathbf{a}^^\mathbf{a_1}||)$
non so se conviene impararsi a memoria la formula. Probabilmente è più utile cercare di farsi rimanere impresso un ragionamento per risolvere un esercizio del genere. Io, per esempio, magari sbaglio, però farei così:
1) mi calcolo $a1$, $a2$ che mi corrispondono rispettivamente alla giacitura di $r$, $s$
2) completo $a1$, $a2$ a una base B di $R^3$ con terzo vettore $v$.
3) considero $p1$, $p2$ che sono i piani in cui giacciono rispettivamente $r$, $s$ e che contengono ognuna delle 2 come giacitura quella generata da $a1$, $a2$ (in pratica estendo ognuna delle 2 rette ad un piano aggiungendo ad ognuna un elemento della giacitura dell'altra). Ora $p1$, $p2$ sono paralleli poichè contengono la stessa giacitura.
4) prendi $P1$ punto in $p1$ e $P2$ punto in $p2$ a caso. Ti scrivi il vettore differenza dei punti $P1$, $P2$ rispetto alla base B. Il coefficiente di $v$ di questa differenza dovrebbe essere la distanza voluta.
P.S: non so se questo metodo va bene. Stavo anche pensando di scirvere le equazioni cartesiane di $p1$ $p2$ che essendo riferite a piani paralleli dovrebbero differire di una costante però poi da questa costante non riesco a capire bene come ci si ricavi la distanza ( magari diveidendo per qualcosa, boh...)
Si prendono due punti a caso, uno da r e uno da s, e si proietta la loro differenza lungo il vettore ortogonale ad entrambe le rette.... le proiezioni sono formule facili da ricordare: $x= \frac{x\cdot v}{v\cdot v}v$ è la proiezione di $x$ lungo $v$....
Se ho capito bene, intuitivamente:
1)dalle due rette (che supponiamo sghembe, negli altri casi è più facile) costruisci due piani, ognuno contiene una sola delle due rette e ha per giacitura $text(span)(\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2})$;
2)questi due piani sono paralleli perché hanno la stessa giacitura;
3)presi due punti, uno per piano, calcoliamo la differenza (un vettore applicato che nasce in un piano e muore nell'altro);
4)quest'ultima la proiettiamo ortogonalmente sulla direzione $\mathbf{v}$, che completa $\mathbf{a_1},\mathbf{a_2}$ in una base (quindi ad esempio $\mathbf{v}=\mathbf{a_1}^^\mathbf{a_2}$);
5)la norma di questo vettore è la distanza tra le rette.
E' questo che intendevi? Ma perché prendere i punti su questi due piani? Non potremmo prendere due punti, uno per retta, calcolare il vettore applicato e proiettarlo su un $\mathbf{v}$ come sopra?
(A guardare meglio la formula di prima, quello che fa è esattamente questo: calcola la norma della proiezione su $\mathbf{a_1}^^\mathbf{a_2}$ del vettore $\vec{Q Q_1}$. Che bello! L'abbiamo dimostrata! ) dite che va bene?
(edit) mi riferivo a fransis2. Comunque il post di pic2 risponde all'ultima domanda.
1)dalle due rette (che supponiamo sghembe, negli altri casi è più facile) costruisci due piani, ognuno contiene una sola delle due rette e ha per giacitura $text(span)(\mathbf{a_1}, \mathbf{a_2})$;
2)questi due piani sono paralleli perché hanno la stessa giacitura;
3)presi due punti, uno per piano, calcoliamo la differenza (un vettore applicato che nasce in un piano e muore nell'altro);
4)quest'ultima la proiettiamo ortogonalmente sulla direzione $\mathbf{v}$, che completa $\mathbf{a_1},\mathbf{a_2}$ in una base (quindi ad esempio $\mathbf{v}=\mathbf{a_1}^^\mathbf{a_2}$);
5)la norma di questo vettore è la distanza tra le rette.
E' questo che intendevi? Ma perché prendere i punti su questi due piani? Non potremmo prendere due punti, uno per retta, calcolare il vettore applicato e proiettarlo su un $\mathbf{v}$ come sopra?
(A guardare meglio la formula di prima, quello che fa è esattamente questo: calcola la norma della proiezione su $\mathbf{a_1}^^\mathbf{a_2}$ del vettore $\vec{Q Q_1}$. Che bello! L'abbiamo dimostrata!
) dite che va bene?(edit) mi riferivo a fransis2. Comunque il post di pic2 risponde all'ultima domanda.
"dissonance":
eccola! l'ho trovata! se le rette sono $r,r_1$, di giacitura $\mathbf{a},\mathbf{a_1}$, passanti per $Q, Q_1$ allora:
$d(r,r_1)=(|(\mathbf{a}^^\mathbf{a_1})\cdot\(vec{Q Q_1})|)/(||\mathbf{a}^^\mathbf{a_1}||)$
(la formula l'ho presa dal Sernesi 1, pag.254)
Buon libro, ci studiavo al mio primo anno di matematica.
Ma non credo che sia una buona idea usare queste "formulone",
basta prendere in considerazione i due piani paralleli che contengono
le due rette e trovare la distanza tra questi piani.
Vi ringrazio per le numerose risposte!! anno chiarito molti dei miei dubbi!
Allora per il punto 1) cioè verificare se son sghembe o meno ho alla fine usato due sistemi:
a) sfruttare la condizione di complanarità tra due rette per dimostrare che r ed s non lo sono, e dunque son sghembe:
$|(1,-1,-1,-1),(1,2,-1,2),(3,-1,3,3),(3,-3,3,5)|!=0$
b) scrivere le equazioni in forma parametrica, calcolare rispettivamente i punti e i vettori direttori:
r) $\{(x = t),(y = -1),(z=t):}$
$R(0,-1,0); \vec nu_r(1,0,1)$
s) $\{(x = t),(y = -1),(z=t):}$
$S(0,1,-2/3); \vec mu_s(1,0,-1)$
ed ora calcolare: $(R-S) ^^ vec nu *vecmu = |(0,-2,2/3),(1,0,1),(1,0,-1)|=-4 !=0$ e quindi r ed s sono sghembe.
Per il punto 2) ho pensato di prendere un piano passante per s e parallelo ad r...
questo piano l'ho determinato utilizzando i due vettori $vecnu_r,vecmu_s$ facendolo passare per il punto S:
$|(x-x_0,y-y_0,z-z_0),(l,m,n),(l',m',n')|=|(x,y+2,z-2/3),(1,0,1),(1,0,-1)|=0$
ricavando il piano $\pi$ di equazione $y=-2$
il calcolo della distanza del punto da $\pi$ è
$d(R,\pi)=|(ax_0+by_0+cz_0)|/(sqrt(a^2+b^2+c^2))=|(-1+2)|/(sqrt(1^2))=1$
Se su quest'ultimo punto volete esprimere qualche dubbio o perplessità, mi sottopongo gioiosamente, (e a ragione), al vostro giudizio
Buon tutto!
Luca
anno chiarito molti dei miei dubbi!Allora per il punto 1) cioè verificare se son sghembe o meno ho alla fine usato due sistemi:
a) sfruttare la condizione di complanarità tra due rette per dimostrare che r ed s non lo sono, e dunque son sghembe:
$|(1,-1,-1,-1),(1,2,-1,2),(3,-1,3,3),(3,-3,3,5)|!=0$
b) scrivere le equazioni in forma parametrica, calcolare rispettivamente i punti e i vettori direttori:
r) $\{(x = t),(y = -1),(z=t):}$
$R(0,-1,0); \vec nu_r(1,0,1)$
s) $\{(x = t),(y = -1),(z=t):}$
$S(0,1,-2/3); \vec mu_s(1,0,-1)$
ed ora calcolare: $(R-S) ^^ vec nu *vecmu = |(0,-2,2/3),(1,0,1),(1,0,-1)|=-4 !=0$ e quindi r ed s sono sghembe.
Per il punto 2) ho pensato di prendere un piano passante per s e parallelo ad r...
questo piano l'ho determinato utilizzando i due vettori $vecnu_r,vecmu_s$ facendolo passare per il punto S:
$|(x-x_0,y-y_0,z-z_0),(l,m,n),(l',m',n')|=|(x,y+2,z-2/3),(1,0,1),(1,0,-1)|=0$
ricavando il piano $\pi$ di equazione $y=-2$
il calcolo della distanza del punto da $\pi$ è
$d(R,\pi)=|(ax_0+by_0+cz_0)|/(sqrt(a^2+b^2+c^2))=|(-1+2)|/(sqrt(1^2))=1$
Se su quest'ultimo punto volete esprimere qualche dubbio o perplessità, mi sottopongo gioiosamente, (e a ragione), al vostro giudizio
Buon tutto!
Luca
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