Rette, Piani e Spazi
Buongiorno,
in dirittura di arrivo pre-esame solo Voi potete aiutarmi a salvare il salvabile su questo argomento "apparentemente" semplice ma che ad oggi è un pò il mio punto debole
Devo svolgere per chiudere il discorso ancora 3 esercizi.....ma da solo non credo di farcela.
In particolare chiedo il vostro aiuto più che per lo svolgimento per cercare di capire il ragionamento sul come svolgerlo (altrimenti sarebbe un confronto poco utile)!!!
Provo a partire con l'esercizio che mi sembra meno difficile
Esercizio 1) Sia $\pi$ il piano di equazione $ x + 2 y + z = 3 $ e sia $\gamma$ il piano di equazione $3 x + y + 2 z = 1$.
Determinare:
a) la retta $r$ parallela a $\pi$ e $\gamma$ passante per il punto $ P = (3,0,1) $
b) il suo punto di intersezione con il piano $\beta$ di equazione $x = 0$
Svolgimento:
- per prima cosa mi verrebbe da pensare che la retta $r$ parallela ad entrambi i piani potrebbe essere proprio la retta intersezione dei due piani, quindi in teoria mettendo a sistema le due equazioni dei piani dovrei ottenere un punto delle retta...o sbaglio?
- ottenuto il punto della retta mi trovo quindi con due punti che posso utilizzare per costruirmi le equazioni parametriche della retta r (ovvero le sue equazioni parametriche)
Fin qui il ragonamento è corretto o sono fuori strada?
Inoltre trovate le equazioni parametriche la parte a) dell'esercizio dovrebbe essere finito o sbaglio?
Per sicurezza attendo Vostre notizie prima di procedere....
Grazie come sempre a chiunque potrà darmi una mano in merito
in dirittura di arrivo pre-esame solo Voi potete aiutarmi a salvare il salvabile su questo argomento "apparentemente" semplice ma che ad oggi è un pò il mio punto debole
Devo svolgere per chiudere il discorso ancora 3 esercizi.....ma da solo non credo di farcela.
In particolare chiedo il vostro aiuto più che per lo svolgimento per cercare di capire il ragionamento sul come svolgerlo (altrimenti sarebbe un confronto poco utile)!!!
Provo a partire con l'esercizio che mi sembra meno difficile
Esercizio 1) Sia $\pi$ il piano di equazione $ x + 2 y + z = 3 $ e sia $\gamma$ il piano di equazione $3 x + y + 2 z = 1$.
Determinare:
a) la retta $r$ parallela a $\pi$ e $\gamma$ passante per il punto $ P = (3,0,1) $
b) il suo punto di intersezione con il piano $\beta$ di equazione $x = 0$
Svolgimento:
- per prima cosa mi verrebbe da pensare che la retta $r$ parallela ad entrambi i piani potrebbe essere proprio la retta intersezione dei due piani, quindi in teoria mettendo a sistema le due equazioni dei piani dovrei ottenere un punto delle retta...o sbaglio?
- ottenuto il punto della retta mi trovo quindi con due punti che posso utilizzare per costruirmi le equazioni parametriche della retta r (ovvero le sue equazioni parametriche)
Fin qui il ragonamento è corretto o sono fuori strada?
Inoltre trovate le equazioni parametriche la parte a) dell'esercizio dovrebbe essere finito o sbaglio?
Per sicurezza attendo Vostre notizie prima di procedere....
Grazie come sempre a chiunque potrà darmi una mano in merito
Risposte
"TeM":
Spero sia sufficientemente chiaro.
Urca
....non è solo sufficientemente chiaro....è straordinariamente chiaro....meglio di qualsiasi lezione 
Magari avere questa facilità di ragionamento.....(posso benevolmente invidiarti un pò???)
Mi studio un attimo la cosa poi nel caso posto il secondo dei tre esercizi con relativo ragionamento. Ho cercato di impostarli in ordine di difficoltà in modo da chiudere il terzo tutto sommato con un minimo di cognizione di causa. All'esame posso portare appunti ed esercizi svolti quindi se riesco ad avere una buona visione del tutto dovrei farcela (incrociamo le dita)
Per il momento Grazie Infinite
Mi sono stampato la risoluzione ed ho iniziato il suo studio....ci sono due tre punti che devo vedere meglio e con calma...ora sono stanco e faccio un pò di confusione....quindi meglio se stacco qualche ora la spina (anche perchè volente o nolente ho altri impegni familiari) !!!!
Voglio caprilo bene in modo da avere una chiara visione dello spazio in cui circolano i piani e le rette. Poi se proprio non ci arrivo chiedo aiuto....ma in teoria confido di farcela nel pomeriggio/sera da solo!!!
Nel frattempo posto il secondo esercizio così si può iniziare ad affrontare anche quello (sarebbe un sogno cenare questa sera e per la prima volta non fare notte fonda per risolvere esercizi...ma fin quando non chiudo questi tre....ora due....non sono tranquillo)!!!
Esercizio 2) Sia $\pi$ il piano di equazione $ x - 2y + z -4 = 0 $ e sia la retta $r$ ortogonale al piano $\pi$ e passante per il Punto $P = (1,-1,3)$. Determinare:
- il punto Q di intersezione tra la retta $r$ ed il piano $\gamma$ di equazione $3x - y - 2z = 10$
- si calcoli la distanza di $Q$ dal piano $\pi$
Appena posso, se non lo fate prima voi....provo ad abbozzare un ragionamento per la risoluzione....al momento vedo solo rette e spazio che circolano per la stanza ma non riesco a fare intersezioni....poi vedo stelle e non punti....ci deve essere qualche problema con le specifiche dell'esercizio
Scusate l'ironia...ma gli ultimi giorni si dorme poco, e questo è l'ottavo esercizio di nove fatti per forza di cose in fretta e furia tra ritagli di tempo e la notte....direi che sono alla frutta!!!!
Voglio caprilo bene in modo da avere una chiara visione dello spazio in cui circolano i piani e le rette. Poi se proprio non ci arrivo chiedo aiuto....ma in teoria confido di farcela nel pomeriggio/sera da solo!!!
Nel frattempo posto il secondo esercizio così si può iniziare ad affrontare anche quello (sarebbe un sogno cenare questa sera e per la prima volta non fare notte fonda per risolvere esercizi...ma fin quando non chiudo questi tre....ora due....non sono tranquillo)!!!
Esercizio 2) Sia $\pi$ il piano di equazione $ x - 2y + z -4 = 0 $ e sia la retta $r$ ortogonale al piano $\pi$ e passante per il Punto $P = (1,-1,3)$. Determinare:
- il punto Q di intersezione tra la retta $r$ ed il piano $\gamma$ di equazione $3x - y - 2z = 10$
- si calcoli la distanza di $Q$ dal piano $\pi$
Appena posso, se non lo fate prima voi....provo ad abbozzare un ragionamento per la risoluzione....al momento vedo solo rette e spazio che circolano per la stanza ma non riesco a fare intersezioni....poi vedo stelle e non punti....ci deve essere qualche problema con le specifiche dell'esercizio
Scusate l'ironia...ma gli ultimi giorni si dorme poco, e questo è l'ottavo esercizio di nove fatti per forza di cose in fretta e furia tra ritagli di tempo e la notte....direi che sono alla frutta!!!!
Eccomi provo a buttar giù un piano di azione per il seguente esercizio:
Esercizio 2) Sia $\pi$ il piano di equazione $ x - 2y + z -4 = 0 $ e sia la retta $r$ ortogonale al piano $\pi$ e passante per il Punto $P = (1,-1,3)$. Determinare:
a) il punto Q di intersezione tra la retta $r$ ed il piano $\gamma$ di equazione $3x - y - 2z = 10$
b) si calcoli la distanza di $Q$ dal piano $\pi$
Sono un pò confuso (geometricamente fatico a vedere la situazione oltre ad un piano con una retta a lui perpendicolare) ma vediamo se riesco a fare qualche ragionamento....
parte a)
- ho un piano $\pi$ con una retta ortogonale ad esso e passante per il punto $P (1,-1,3)$
- conosco l'equazione del piano pertanto posso usare i suoi parametri direttori per ricavarmi il vettore perpendicolare al piano
- sapendo che una retta è perpendicolare al piano quando il vettore direzione della retta è un multiplo del vettore perpendicolare al piano....impostando il multiplo uguale ad $1$ posso ricavarmi di conseguenza il vettore direzione della retta
- le componente del vettore direzione della retta insieme al punto P mi permettono quindi di ricavarmi le equazioni parametriche della retta
- interseco qundi le equazioni parametriche della retta con l'equazione del piano $gamma$ per ottenere il punto di intersezione $Q$ (tra la retta ed il piano)
E qui dovrebbe terminare la prima parte...se non ho detto sciocchezze
parte b)
- al momento non ho la più pallida idea di cosa fare perchè geometricamente non riesco a vedere lo stato delle cose
- anzi forse ho un'idea....la distanza di Q dal piano $pi$ sarà mica la distanza tra due punti, ovvero il punto di intersezione Q (tra retta e piano gamma) e il punto di intersezione (???) tra la retta e il piano pigreco???
Esercizio 2) Sia $\pi$ il piano di equazione $ x - 2y + z -4 = 0 $ e sia la retta $r$ ortogonale al piano $\pi$ e passante per il Punto $P = (1,-1,3)$. Determinare:
a) il punto Q di intersezione tra la retta $r$ ed il piano $\gamma$ di equazione $3x - y - 2z = 10$
b) si calcoli la distanza di $Q$ dal piano $\pi$
Sono un pò confuso (geometricamente fatico a vedere la situazione oltre ad un piano con una retta a lui perpendicolare) ma vediamo se riesco a fare qualche ragionamento....
parte a)
- ho un piano $\pi$ con una retta ortogonale ad esso e passante per il punto $P (1,-1,3)$
- conosco l'equazione del piano pertanto posso usare i suoi parametri direttori per ricavarmi il vettore perpendicolare al piano
- sapendo che una retta è perpendicolare al piano quando il vettore direzione della retta è un multiplo del vettore perpendicolare al piano....impostando il multiplo uguale ad $1$ posso ricavarmi di conseguenza il vettore direzione della retta
- le componente del vettore direzione della retta insieme al punto P mi permettono quindi di ricavarmi le equazioni parametriche della retta
- interseco qundi le equazioni parametriche della retta con l'equazione del piano $gamma$ per ottenere il punto di intersezione $Q$ (tra la retta ed il piano)
E qui dovrebbe terminare la prima parte...se non ho detto sciocchezze
parte b)
- al momento non ho la più pallida idea di cosa fare perchè geometricamente non riesco a vedere lo stato delle cose
- anzi forse ho un'idea....la distanza di Q dal piano $pi$ sarà mica la distanza tra due punti, ovvero il punto di intersezione Q (tra retta e piano gamma) e il punto di intersezione (???) tra la retta e il piano pigreco???
Esercizio 2) Sia $\pi$ il piano di equazione $ x - 2y + z -4 = 0 $ e sia la retta $r$ ortogonale al piano $\pi$ e passante per il Punto $P = (1,-1,3)$. Determinare:
a) il punto Q di intersezione tra la retta $r$ ed il piano $\gamma$ di equazione $3x - y - 2z = 10$
b) si calcoli la distanza di $Q$ dal piano $\pi$
Equazione del piano $\pi : x - 2y + z -4 = 0 $ <- da questo prendo i suoi parametri direttori per ricavarmi il suo vettore perpendicolare, ovvero $ w = ((1),(-2),(1)) $
Equazione parametrica retta $r:$$\{(x = 1 + t),(y = -1 - 2t),(z = 3 + t):}$
A questo punto mi ricavo il vettore direzione della retta $r$ che per essere tale (ortogonale al piano) deve essere un multiplo del vettore perpendicolare al piano $\pi$
Quindi $ v = k w $ -> imposto k = 1 -> $ ((a),(b),(c)) = 1 ((1),(-2),(1)) $ per cui $ v = ((1),(-2),(1)) $
A questo punto per trovare il punto (piede) $Q$ interseco piano $\gamma$ e retta $r$ , ovvero:
$ 3x - y - 2z = 10 $
$3 ( 1 + t ) - ( - 1 - 2 t) - 2 ( 3 + t ) - 10 = 0 $
$ 3 + 3 t + 1 + 2t - 6 - 2 t - 10 = 0 $
$ 4t - 12 = 0 $ ovvero $ t = 3 $
A questo punto sostituisco la $t$ nelle equazioni parametriche della retta $r$ per ottenere il piede $Q$:
$\{(x = 1 + t),(y = -1 - 2t),(z = 3 + t):} {(x = 1 + 3),(y = -1 - 6),(z = 3 + 3):} {(x = 4),(y = -7),(z = 6):} $
Quanto ottenuto dovrebbe essere il punto di intersezione $Q$.....
Il problema che se provo a verificare l'appartenza di tale punto al piano $\gamma$ ottengo esito negativo
Infatti : $ 3x - y - 2z = 10 $ -> $ 12 + 7 - 12 = 10 $ -> $ 7 = 10 $ cioè non è verificata e quindi il punto $Q$ non apparterrebbe al piano....
Non trovo soluzione
a) il punto Q di intersezione tra la retta $r$ ed il piano $\gamma$ di equazione $3x - y - 2z = 10$
b) si calcoli la distanza di $Q$ dal piano $\pi$
Equazione del piano $\pi : x - 2y + z -4 = 0 $ <- da questo prendo i suoi parametri direttori per ricavarmi il suo vettore perpendicolare, ovvero $ w = ((1),(-2),(1)) $
Equazione parametrica retta $r:$$\{(x = 1 + t),(y = -1 - 2t),(z = 3 + t):}$
A questo punto mi ricavo il vettore direzione della retta $r$ che per essere tale (ortogonale al piano) deve essere un multiplo del vettore perpendicolare al piano $\pi$
Quindi $ v = k w $ -> imposto k = 1 -> $ ((a),(b),(c)) = 1 ((1),(-2),(1)) $ per cui $ v = ((1),(-2),(1)) $
A questo punto per trovare il punto (piede) $Q$ interseco piano $\gamma$ e retta $r$ , ovvero:
$ 3x - y - 2z = 10 $
$3 ( 1 + t ) - ( - 1 - 2 t) - 2 ( 3 + t ) - 10 = 0 $
$ 3 + 3 t + 1 + 2t - 6 - 2 t - 10 = 0 $
$ 4t - 12 = 0 $ ovvero $ t = 3 $
A questo punto sostituisco la $t$ nelle equazioni parametriche della retta $r$ per ottenere il piede $Q$:
$\{(x = 1 + t),(y = -1 - 2t),(z = 3 + t):} {(x = 1 + 3),(y = -1 - 6),(z = 3 + 3):} {(x = 4),(y = -7),(z = 6):} $
Quanto ottenuto dovrebbe essere il punto di intersezione $Q$.....
Il problema che se provo a verificare l'appartenza di tale punto al piano $\gamma$ ottengo esito negativo
Infatti : $ 3x - y - 2z = 10 $ -> $ 12 + 7 - 12 = 10 $ -> $ 7 = 10 $ cioè non è verificata e quindi il punto $Q$ non apparterrebbe al piano....
Non trovo soluzione
"TeM":
Spero sia sufficientemente chiaro.
Sufficientemente, è un'offesa "all'arte" con cui risolvi gli esercizi .....
Devo dire che però tutto sommato mi ero difeso benino anche io..... almeno sino a 3/4 di esercizio.... per poi scoprire che ancora non ho imparato a fare la somma che penso si insegni in prima o seconda elementare
Ho sbagliato a fare semplicemente $ 3t + 2t - 2t $ .... ho messo come risultato $4t$ anzichè $ 3t $
Non ci posso credere
Ho guardato e riguardato teoria e controteoria e poi l'errore era nell'unico posto dove proprio non mi è minmamente passato per la testa di controllare
$TeM$ grazie davvero per l'aiuto....mi stai davvero semplificando di molto la comprensione di questo genere di esercizi...
Posso dirti che solo 48 ore addietro davo per scontato che non sarei nemmeno riuscito ad iniziarlo....quindi qualche miglioramento c'è stato.....in fin dei conti..
Devo rivedermi la parte finale dell'esercizio per capire se il mio ragionamento era giusto o meno....nel caso non lo fosse cercherò di capire dove sbagliavo.....
E poi finalmente ultimo esercizio pre-esame
Esercizio 3) Ultimo....
Sia la retta $r$ di equazione parametrica $(x,y,z) = (4,0,0) + t (2,1,1)$ e sia $s$ la retta passante per i punti $ A = (2,-1,3)$ e $B = (3,2,1)$. Determinare:
a) il piano $\pi$ ortogonale a $r$ passante per il punto $Q = (2,-1,-1)$
b) si trovi, se esiste, il suo punto di intersezione con la retta $s$
Teoricamente dovrei aver capito come fare..... (faccio una cosa rapida vista l'ora)...poi se ne ha voglia lascio a $TeM$ la risoluzione artistica (altro che sufficiente)...che prontamente stamperò a corredo dei miei appunti
$r$ = $\{(x = 4 + 2t),(y = t),(z = t):}$
Dalle equazioni parametriche (alias dalle specifiche) della retta $r$ estrapolo il suo vettore direzione $v = ((2),(1),(1))$
Sapendo che un piano è perpendicolare ad una retta se il vettore direzione della retta è un multiplo del vettore direzione della retta, ho che:
$ v = k w $ ovvero $((2),(1),(1)) = k ((a),(b),(c)) $
Impostando $k = 1$ ottengo quindi il vettore perpendicolare al piano $w = ((2),(1),(1))$
Le componenti di tale vettore sono i parametri direttori del piano $\pi$ ortogonale ad $r$...quindi l'equazione generale del piano $\pi$ sarà:
$ \pi : 2x + y + z + d = 0 $
Imposto il passaggio per il punto $Q = (2,-1,-1)$
$ d = - ( 2Xq + Yq + Zq) = - (4 - 1 - 1) = - 2 $
$ \pi : 2x + y + z - 2 = 0 $
A questo punto verifico l'eventuale intersezione tra il piano $\pi$ e la retta $s$ passante per i punti $ A = (2,-1,3)$ e $B = (3,2,1)$.
Vettore direzione della retta $ s $ $((3-2),(2+1),(1-3)) = ((1),(3),(-2))$ ; da questo ricavo le equazioni parametriche della retta $s$, ovvero:
$s$ = $\{(x = 2 + t),(y = -1 + 3 t),(z = 3 - 2t):}$
$ \pi : 2x + y + z - 2 = 0 $
$ 2 ( 2 + t ) - 1 + 3 t + 3 - 2 t - 2 = 0 $
$ 4 + 2t - 1 + 3 t + 3 - 2 t - 2 = 0 $
$ 3t + 4 = 0 $ ovvero $ t = -4/3 $
Sostitusco quindi il valore di $t$ nelle equazioni parametriche della retta $s$ ottenendo così il punto di intersezione tra piano e retta:
$s$ = $\{(x = 2 + t),(y = -1 + 3 t),(z = 3 - 2t):} {(x = 2 -4/3),(y = -1 - 4),(z = 3 + 8/3):} {(x = 2/3),(y = -5),(z = 17/3):}$
Punto di intersezione $( 2/3 , -5 , 17/3) $
Verifico il risultato (ovvero se il punto ottenuto appartiene effettivamente al piano $\pi$) :
$ \pi : 2x + y + z - 2 = 0 $
$ \pi : 4/3 -5 + 17/3 - 2 = 0 $
$ \pi : 4/3 -15/3 + 17/3 - 6/3 = 0 $ ovvero $ -11/3 + 11/3 = 0 $ ovvero $ 0 = 0 $ (verifica positiva)
Questa volta dovrei aver fatto centro
P.S. mi chiedo solo una cosa se non ci fosse stato punto di intersezione cosa avrei ottenuto? Mi viene da pensare che non avrei trovato $t$ ma non ne sono sicuro per niente
P.P.S. Buona Notte a Tutti
Sia la retta $r$ di equazione parametrica $(x,y,z) = (4,0,0) + t (2,1,1)$ e sia $s$ la retta passante per i punti $ A = (2,-1,3)$ e $B = (3,2,1)$. Determinare:
a) il piano $\pi$ ortogonale a $r$ passante per il punto $Q = (2,-1,-1)$
b) si trovi, se esiste, il suo punto di intersezione con la retta $s$
Teoricamente dovrei aver capito come fare..... (faccio una cosa rapida vista l'ora)...poi se ne ha voglia lascio a $TeM$ la risoluzione artistica (altro che sufficiente)...che prontamente stamperò a corredo dei miei appunti
$r$ = $\{(x = 4 + 2t),(y = t),(z = t):}$
Dalle equazioni parametriche (alias dalle specifiche) della retta $r$ estrapolo il suo vettore direzione $v = ((2),(1),(1))$
Sapendo che un piano è perpendicolare ad una retta se il vettore direzione della retta è un multiplo del vettore direzione della retta, ho che:
$ v = k w $ ovvero $((2),(1),(1)) = k ((a),(b),(c)) $
Impostando $k = 1$ ottengo quindi il vettore perpendicolare al piano $w = ((2),(1),(1))$
Le componenti di tale vettore sono i parametri direttori del piano $\pi$ ortogonale ad $r$...quindi l'equazione generale del piano $\pi$ sarà:
$ \pi : 2x + y + z + d = 0 $
Imposto il passaggio per il punto $Q = (2,-1,-1)$
$ d = - ( 2Xq + Yq + Zq) = - (4 - 1 - 1) = - 2 $
$ \pi : 2x + y + z - 2 = 0 $
A questo punto verifico l'eventuale intersezione tra il piano $\pi$ e la retta $s$ passante per i punti $ A = (2,-1,3)$ e $B = (3,2,1)$.
Vettore direzione della retta $ s $ $((3-2),(2+1),(1-3)) = ((1),(3),(-2))$ ; da questo ricavo le equazioni parametriche della retta $s$, ovvero:
$s$ = $\{(x = 2 + t),(y = -1 + 3 t),(z = 3 - 2t):}$
$ \pi : 2x + y + z - 2 = 0 $
$ 2 ( 2 + t ) - 1 + 3 t + 3 - 2 t - 2 = 0 $
$ 4 + 2t - 1 + 3 t + 3 - 2 t - 2 = 0 $
$ 3t + 4 = 0 $ ovvero $ t = -4/3 $
Sostitusco quindi il valore di $t$ nelle equazioni parametriche della retta $s$ ottenendo così il punto di intersezione tra piano e retta:
$s$ = $\{(x = 2 + t),(y = -1 + 3 t),(z = 3 - 2t):} {(x = 2 -4/3),(y = -1 - 4),(z = 3 + 8/3):} {(x = 2/3),(y = -5),(z = 17/3):}$
Punto di intersezione $( 2/3 , -5 , 17/3) $
Verifico il risultato (ovvero se il punto ottenuto appartiene effettivamente al piano $\pi$) :
$ \pi : 2x + y + z - 2 = 0 $
$ \pi : 4/3 -5 + 17/3 - 2 = 0 $
$ \pi : 4/3 -15/3 + 17/3 - 6/3 = 0 $ ovvero $ -11/3 + 11/3 = 0 $ ovvero $ 0 = 0 $ (verifica positiva)
Questa volta dovrei aver fatto centro
P.S. mi chiedo solo una cosa se non ci fosse stato punto di intersezione cosa avrei ottenuto? Mi viene da pensare che non avrei trovato $t$ ma non ne sono sicuro per niente
P.P.S. Buona Notte a Tutti
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