Rette parallele e disgiunte di piani diversi
Ciao ragazzi,
Premetto che so quando due rette sono parallele, disgiunte, ortogonali, incidenti ecc..
Ma mi sono bloccato su un problema.. Forse la risposta è più semplice di quanto pensi.. Ma non riesco ad arrivarci.
Il problema è questo:
Si considerino i piani $\alpha$ : x + 2 y + z = 3 e $\beta$ : x - y - 2z = 0.
Determinare due rette, una di $\alpha$ , ed una di $\beta$, che siano parallele e disgiunte.
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Grazie, a presto!
Premetto che so quando due rette sono parallele, disgiunte, ortogonali, incidenti ecc..
Ma mi sono bloccato su un problema.. Forse la risposta è più semplice di quanto pensi.. Ma non riesco ad arrivarci.
Il problema è questo:
Si considerino i piani $\alpha$ : x + 2 y + z = 3 e $\beta$ : x - y - 2z = 0.
Determinare due rette, una di $\alpha$ , ed una di $\beta$, che siano parallele e disgiunte.
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Grazie, a presto!
Risposte
Farei così :
Piano $alpha $ , scelgo un punto del piano $x=1,y=-1 $ ottengo $z= 4 $ punto $P_1 =( 1,-1,4)$.
Piano $ beta $ scelgo $x=0 ,y= 2$ ottengo $z= -1 $, punto$P_2=(0,2,-1)$
Siano $a,b,c $ i parametri direttori della retta $r_1$ che cerco sul piano $alpha $, deve essere : $a+2b+c=0 $ , fisso $a=1$ , ottengo $ c=-1-2b$.
Per ora so che la retta $r_1 $ ( su $alpha$ ) avrà equazione:
$x= 1+t$
$y=-1+bt$
$z= 4-(1+2b)t $
Siano ora $d,e,f $ i parametri direttori della retta $r_2$ su $beta$.
Deve essere : $ d-e-2f=0 $, fisso $d=1 $ e otengo $e=1-2f$
Per ora la retta $r_2$ su $ beta$ avrà equazione :
$x=0+s$
$y= 2+(1-2f) s$
$z=-1+fs$
Ma le rette devono essere parallele , quindi
$b=1-2f$
$ -1-2b=f $ da cui $ f=1, b=-1$.
Quindi :
$r_1 ;$
$ x=1+t$
$y=-1-t$
$z=4+t $
$r_2$
$x= s$
$y=2-s$
$z= -1+s$
Verifica :
le rette sono parallele ? sì perché hanno gli stessi parametri direttori : $( 1,-1, 1)$
Non hanno punti in comune ? vero perché il sistema formato dalle equazioni in forma parametrica delle due rette non ha soluzioni. sono disgiunte.
Le rette giacciono nei rispettivi piani ? sì perché le equazioni parametriche delle rette soddisfano l'equazione , ognuna del suo piano.
Piano $alpha $ , scelgo un punto del piano $x=1,y=-1 $ ottengo $z= 4 $ punto $P_1 =( 1,-1,4)$.
Piano $ beta $ scelgo $x=0 ,y= 2$ ottengo $z= -1 $, punto$P_2=(0,2,-1)$
Siano $a,b,c $ i parametri direttori della retta $r_1$ che cerco sul piano $alpha $, deve essere : $a+2b+c=0 $ , fisso $a=1$ , ottengo $ c=-1-2b$.
Per ora so che la retta $r_1 $ ( su $alpha$ ) avrà equazione:
$x= 1+t$
$y=-1+bt$
$z= 4-(1+2b)t $
Siano ora $d,e,f $ i parametri direttori della retta $r_2$ su $beta$.
Deve essere : $ d-e-2f=0 $, fisso $d=1 $ e otengo $e=1-2f$
Per ora la retta $r_2$ su $ beta$ avrà equazione :
$x=0+s$
$y= 2+(1-2f) s$
$z=-1+fs$
Ma le rette devono essere parallele , quindi
$b=1-2f$
$ -1-2b=f $ da cui $ f=1, b=-1$.
Quindi :
$r_1 ;$
$ x=1+t$
$y=-1-t$
$z=4+t $
$r_2$
$x= s$
$y=2-s$
$z= -1+s$
Verifica :
le rette sono parallele ? sì perché hanno gli stessi parametri direttori : $( 1,-1, 1)$
Non hanno punti in comune ? vero perché il sistema formato dalle equazioni in forma parametrica delle due rette non ha soluzioni. sono disgiunte.
Le rette giacciono nei rispettivi piani ? sì perché le equazioni parametriche delle rette soddisfano l'equazione , ognuna del suo piano.
"Camillo":
Farei così :
Grazie mille Camillo, preciso e sintetico come sempre!
Quindi, qualora invece volessi scrivere le equazioni di due rette ortogonali e incidenti, mi basterebbe seguire lo stesso procedimento e poi ricavare i parametri direttori dalla relazione:
a d + b e + c f = 0 ?
Quella che hai scritto è la condizione di ortogonalità, per l'incidenza va verificato o imposto che il sistema formato dalle equazioni parametriche delle 2 rette abbia soluzione.
Le rette possono essere ortogonali ma non incidenti se sono " lontane " tra loro.
Le rette possono essere ortogonali ma non incidenti se sono " lontane " tra loro.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo