Rette parallele contenute in un piano
Ciao, volevo chiedere aiuto nello svolgimento di un problema riguartante le rette.
Ora scrivo il testo:
" Nello spazio, riferito a un sistema ortonormale $ ( O, { \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}} ) $ , si considerino le rette $ s $ ed $ r $ di equazioni
$ s $ $ :{(x-2y=-7),(y+z=4):} $ , $ r $ $ :{(x=1+2t),(y=1+t),(z=-t):} $
a) Verificare che le rette sono parallele e che il punto $ A=(1,1,0) $ appartiene ad $ r $ ;
b) Determinare l'equazione cartesiana del piano che le contiene ;
c) Trovare le coordinate del punto $ K $ , Proiezione ortogonale di $ A $ sulla retta $ s $, e la distanza tra le due rette;
d) Determinare i vertici $ B $ $in$ $ s $ e $ C $ $in$ $ r $ dei triangoli $ ABC $, rettangoli in $ B $, e tali che l'angolo in $ A $ sia di $\pi/3$ radianti "
Ora, il punto a) l'ho svolto cercando di vedere se le rette sono sghembe e poi avendo visto che erano complanari ho cercato di vedere se erano incidenti nel seguente modo:
Ho scritto anche $ s $ in forma parametrica : $ {(x=-7+2t),(y=t),(z=4-t):} $
Per vedere se erano sghembe ho calcolato il determinante ponendolo uguale a zero: $ |(2,2,-8),(1,1,-1),(-1,-1,4) | = 0 $
E visto che viene proprio zero sono complanari.
A questo punto vedo se sono incidenti mettendole a sistema
$ {(-7+2t=1+2t'),(t=1+t'),(4-t=-t'):} $ e sostituendo la seconda nella prima trovo $ -7+2+2t'-1-2t'=0 $ da cui $ -6!=0 $
quindi dico che sono parallele.
Ora la domanda è, c'è un modo alternativo per vedere se sono parallele? Visto che credo che questo sia sbagliato.
Poi per quanto riguarda l'appartenenza del punto $ A $ ci sono, basta sostituire e vedere per che $ t $ appartiene. Nel mio caso per $ t=0 $
Per il punto b) invece so che dovrei trovare il vettore normale, ma non ho capito bene come si fa. Qualcuno potrebbe cortesemente darmi una mano a capire come si determina l'equazione cartesiana del piano che contiene due rette?
Grazie in anticipo!
Ora scrivo il testo:
" Nello spazio, riferito a un sistema ortonormale $ ( O, { \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}} ) $ , si considerino le rette $ s $ ed $ r $ di equazioni
$ s $ $ :{(x-2y=-7),(y+z=4):} $ , $ r $ $ :{(x=1+2t),(y=1+t),(z=-t):} $
a) Verificare che le rette sono parallele e che il punto $ A=(1,1,0) $ appartiene ad $ r $ ;
b) Determinare l'equazione cartesiana del piano che le contiene ;
c) Trovare le coordinate del punto $ K $ , Proiezione ortogonale di $ A $ sulla retta $ s $, e la distanza tra le due rette;
d) Determinare i vertici $ B $ $in$ $ s $ e $ C $ $in$ $ r $ dei triangoli $ ABC $, rettangoli in $ B $, e tali che l'angolo in $ A $ sia di $\pi/3$ radianti "
Ora, il punto a) l'ho svolto cercando di vedere se le rette sono sghembe e poi avendo visto che erano complanari ho cercato di vedere se erano incidenti nel seguente modo:
Ho scritto anche $ s $ in forma parametrica : $ {(x=-7+2t),(y=t),(z=4-t):} $
Per vedere se erano sghembe ho calcolato il determinante ponendolo uguale a zero: $ |(2,2,-8),(1,1,-1),(-1,-1,4) | = 0 $
E visto che viene proprio zero sono complanari.
A questo punto vedo se sono incidenti mettendole a sistema
$ {(-7+2t=1+2t'),(t=1+t'),(4-t=-t'):} $ e sostituendo la seconda nella prima trovo $ -7+2+2t'-1-2t'=0 $ da cui $ -6!=0 $
quindi dico che sono parallele.
Ora la domanda è, c'è un modo alternativo per vedere se sono parallele? Visto che credo che questo sia sbagliato.
Poi per quanto riguarda l'appartenenza del punto $ A $ ci sono, basta sostituire e vedere per che $ t $ appartiene. Nel mio caso per $ t=0 $
Per il punto b) invece so che dovrei trovare il vettore normale, ma non ho capito bene come si fa. Qualcuno potrebbe cortesemente darmi una mano a capire come si determina l'equazione cartesiana del piano che contiene due rette?
Grazie in anticipo!
Risposte
Se confronti le equazioni parametriche delle due rette, puoi notare che hanno lo stesso vettore direzionale (2, 1, -1). Questo ti basta per dire che sono parallele.
b) L'equazione cartesiana del piano è ax+by+cz+d=0. Puoi determinare a,b,c,d utilizzando tre punti sscelti a caso appartenenti al piano (es. due presi su r e uno preso su s) e risolvendo poi il sistema. Oppure, sapendo che (a,b,c) è il vettore normale al piano, ti trovi tale vettore facendo il prodotto vettoriale tra due vettori del piano: come $v_1$ puoi usare (2,1,-1); come $v_2$ puoi usare il vettore AD, A=(1,1,0) e D un punto su s (es (-7,0,4)) che ricavi dalla parametrica di s per t=0. Trovati a, b,c, imponi l'appartenenza di un punto al piano (es. il solito (1,1,0)) e il gioco è fatto.
b) L'equazione cartesiana del piano è ax+by+cz+d=0. Puoi determinare a,b,c,d utilizzando tre punti sscelti a caso appartenenti al piano (es. due presi su r e uno preso su s) e risolvendo poi il sistema. Oppure, sapendo che (a,b,c) è il vettore normale al piano, ti trovi tale vettore facendo il prodotto vettoriale tra due vettori del piano: come $v_1$ puoi usare (2,1,-1); come $v_2$ puoi usare il vettore AD, A=(1,1,0) e D un punto su s (es (-7,0,4)) che ricavi dalla parametrica di s per t=0. Trovati a, b,c, imponi l'appartenenza di un punto al piano (es. il solito (1,1,0)) e il gioco è fatto.
Grazie, mi sei stato molto d'aiuto!
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