Rette parallele ad un piano
salve sto provando a fare un esercizio ma non so se la soluzione che ne do io è giusta..mi spiego meglio, il testo del quesito è questo:
determinare tutte le rette dello spazio parallere al piano $\pi: 3x+12y-4z-13=0$ aventi distanza 1 da esso, ed incidenti l'asse $\vec y$ e l'asse $\vec z$.
l'esercizio l ho svolto cosi ma nn sono sicura che sia giusto:
considero un punto generico $Y in y$: $Y=(0,alpha,0)$
e un punto generico $Z in z$: $Z=(0,0,beta)$
calcolo la retta generica passante per questi due punti: $x/0=(y-alpha)/-alpha=z/beta$ ed impongo il parallelismo con il piano:
direttori della generica retta =$(0,-alpha,beta)$
direttori del piano =$(-3/4,-3,1)$
da cui ottengo la condizione $3alpha+beta=0$ ovvero $beta=-3alpha$
vado a sostituire il valore trovato alla generica retta e trovo:
$\{(x/0=z/(-3alpha)),((y-alpha)/-alpha=z/(-3alpha)):}$ e ricavando $alpha$ trovo:
$\{(alpha=0),(y-z=0):}$ quindi la retta parallela a $pi$ ed inicdente i due assi è $y-z=0$.
una ulteriore condizione consiste nell'imporre che tale retta deve avere distanza 1 dal piano quindi considero la distanza tra la retta e il piano o meglio tra un punto di tale retta e il piano,e impongo che sia uguale a 1:
punto generico della retta: $A=(0,z,z)$
$d(A,pi)= |12z-4z-13|/13=1$ ovvero $8z-26=0$ quindi $z=13/4$
alla retta trovata prima impongo adesso quest ultima condizione e trovo $y=13/4$
la risposta a tale esercizio dovrebbe essere: tutte le rette paralle al piano dato da cui distano 1 e incidenti agli assi x e z sono le rette tali che $y=3/4$
..ora mi chiedo.è giusto il mio svolgimento??ringrazio chiuque mi risp!ciao
determinare tutte le rette dello spazio parallere al piano $\pi: 3x+12y-4z-13=0$ aventi distanza 1 da esso, ed incidenti l'asse $\vec y$ e l'asse $\vec z$.
l'esercizio l ho svolto cosi ma nn sono sicura che sia giusto:
considero un punto generico $Y in y$: $Y=(0,alpha,0)$
e un punto generico $Z in z$: $Z=(0,0,beta)$
calcolo la retta generica passante per questi due punti: $x/0=(y-alpha)/-alpha=z/beta$ ed impongo il parallelismo con il piano:
direttori della generica retta =$(0,-alpha,beta)$
direttori del piano =$(-3/4,-3,1)$
da cui ottengo la condizione $3alpha+beta=0$ ovvero $beta=-3alpha$
vado a sostituire il valore trovato alla generica retta e trovo:
$\{(x/0=z/(-3alpha)),((y-alpha)/-alpha=z/(-3alpha)):}$ e ricavando $alpha$ trovo:
$\{(alpha=0),(y-z=0):}$ quindi la retta parallela a $pi$ ed inicdente i due assi è $y-z=0$.
una ulteriore condizione consiste nell'imporre che tale retta deve avere distanza 1 dal piano quindi considero la distanza tra la retta e il piano o meglio tra un punto di tale retta e il piano,e impongo che sia uguale a 1:
punto generico della retta: $A=(0,z,z)$
$d(A,pi)= |12z-4z-13|/13=1$ ovvero $8z-26=0$ quindi $z=13/4$
alla retta trovata prima impongo adesso quest ultima condizione e trovo $y=13/4$
la risposta a tale esercizio dovrebbe essere: tutte le rette paralle al piano dato da cui distano 1 e incidenti agli assi x e z sono le rette tali che $y=3/4$
..ora mi chiedo.è giusto il mio svolgimento??ringrazio chiuque mi risp!ciao
Risposte
Divisione per zero? No, grazie!
Stai attenta alle divisioni per zero.
la retta generica ha equazione
$\{(x = 0) , ( (y-alpha)/-alpha = z/beta):}$
se $\alpha\ne 0$ e $\beta\ne 0$.
trovi
$\{(x = 0 ),((y-alpha)/-alpha=z/(-3alpha)):}$
da cui non ricavi che $alpha$ sia uguale a zero. Guarda che $y-z =0$ è l'equazione di un piano.
Anch'io impongo uguale ad $1$la distanza tra $pi$ ed un generico punto della retta $(0,y,3(y-\alpha))$ ed ottengo l'equazione in $\alpha$ (osserva come $y$ scompaia, hai già imposto il parallelismo)
$|12 \alpha - 13 | = 13$ che ammette come soluzioni
$\alpha = (13)/6$ che ti da' uno dei piani cercati ed $\alpha = 0$, da scartare.
Se invece $alpha =0$, osserva che $(0,0,0)$ dista $1$ da $pi$, quindi dovrebbe andare bene una qualsiasi retta del piano $3x+12y-4z=0$ passante per l'origine.
Stai attenta alle divisioni per zero.
"daniela87":
calcolo la retta generica passante per questi due punti: $x/0=(y-alpha)/-alpha=z/beta$
la retta generica ha equazione
$\{(x = 0) , ( (y-alpha)/-alpha = z/beta):}$
se $\alpha\ne 0$ e $\beta\ne 0$.
"daniela87":
vado a sostituire il valore trovato alla generica retta e trovo:
$\{(x/0=z/(-3alpha)),((y-alpha)/-alpha=z/(-3alpha)):}$
trovi
$\{(x = 0 ),((y-alpha)/-alpha=z/(-3alpha)):}$
da cui non ricavi che $alpha$ sia uguale a zero. Guarda che $y-z =0$ è l'equazione di un piano.
Anch'io impongo uguale ad $1$la distanza tra $pi$ ed un generico punto della retta $(0,y,3(y-\alpha))$ ed ottengo l'equazione in $\alpha$ (osserva come $y$ scompaia, hai già imposto il parallelismo)
$|12 \alpha - 13 | = 13$ che ammette come soluzioni
$\alpha = (13)/6$ che ti da' uno dei piani cercati ed $\alpha = 0$, da scartare.
Se invece $alpha =0$, osserva che $(0,0,0)$ dista $1$ da $pi$, quindi dovrebbe andare bene una qualsiasi retta del piano $3x+12y-4z=0$ passante per l'origine.
ti ringrazio..come ho potuto vedere ho sbagliato una cosa alquanto banale!!grazie ancora,ciao!
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