Rette parallele
Devo calcolare una retta $s$ passante per il punto $O$ e parallela ad $r$. Io so solo che:
$r: {(- y + 3z - 4 = 0),(x + 2z - 5 = 0):}$
Non mi da nemmeno i valori di $O = (x_0, y_0, z_0)$. Ho calcolato i parametri direttori di questa retta, pensando che quel vettore parallelo ad $r$ sarà anche parallelo ad $s$. Ma comunque mi trovo in una situazione del genere:
$s: {(x = x_0 + 2t),(y = y_0 + 3t),(z = z_0):}$
Come procedo? Vi ringrazio per le future risposte!
$r: {(- y + 3z - 4 = 0),(x + 2z - 5 = 0):}$
Non mi da nemmeno i valori di $O = (x_0, y_0, z_0)$. Ho calcolato i parametri direttori di questa retta, pensando che quel vettore parallelo ad $r$ sarà anche parallelo ad $s$. Ma comunque mi trovo in una situazione del genere:
$s: {(x = x_0 + 2t),(y = y_0 + 3t),(z = z_0):}$
Come procedo? Vi ringrazio per le future risposte!
Risposte
Non penso tu possa avere arrivare ad un'espressione esplicita della retta s se non di dà le coordinate del punto di passaggio...non è che il punto O lo intende come O = (0,0,0)? Mi sembra l'unica soluzione
Ti giuro, non mi dice nulla riguardo quel punto!
Mi dice che passa per il punto O, basta. Ma anche dopo, mi chiede un piano passante per quello stesso punto e parallelo ad un piano di cui mi da l'equazione.
Quindi: devo calcolare retta e piano passante per questo punto, avendo i dati di una retta e di un piano paralleli alla retta e al piano da calcolare.
Mi dice che passa per il punto O, basta. Ma anche dopo, mi chiede un piano passante per quello stesso punto e parallelo ad un piano di cui mi da l'equazione.
Quindi: devo calcolare retta e piano passante per questo punto, avendo i dati di una retta e di un piano paralleli alla retta e al piano da calcolare.
Sono d'accordo con Lucamate, penso si sottointenda che il punto sia l'origine degli assi.
Ah ok ragazzi.
Meglio così, già iniziavo ad aver paura di avere chissà quale grande lacuna da dover colmare!
Meglio così, già iniziavo ad aver paura di avere chissà quale grande lacuna da dover colmare!
Un'altro dubbio riguardo sempre rette ed esercizi affini:
'' Data la retta $r : 2x + y - 3 = 0$ di un piano $pi$, calcolare i numeri direttori della retta e i coseni direttori, considerando che la retta forma un angolo acuto con l'asse y. ''
Il problema è che mi da un'unica equazione, che a tal punto suppongo sia l'equazione del piano $pi$. Quindi si tratta di trovare un vettore parallelo al piano, e quindi ortogonale al vettore dei parametri di giacitura.
Detto $vec v$ il vettore parallelo al piano e $vec a$ il vettore ortogonale al piano, ho scritto che:
$vec a * vec v$ $= 0$
$vec a * vec v = 2l + m = 0$
$vec v = (l, -2l, n)$
Non so sinceramente dove sbaglio, ma non va bene perchè ho bisogno dei valori reali del vettore. In quanto dopo devo '' normalizzarlo '' per avere i coseni direttori.
Come posso risolvere questo problema?
'' Data la retta $r : 2x + y - 3 = 0$ di un piano $pi$, calcolare i numeri direttori della retta e i coseni direttori, considerando che la retta forma un angolo acuto con l'asse y. ''
Il problema è che mi da un'unica equazione, che a tal punto suppongo sia l'equazione del piano $pi$. Quindi si tratta di trovare un vettore parallelo al piano, e quindi ortogonale al vettore dei parametri di giacitura.
Detto $vec v$ il vettore parallelo al piano e $vec a$ il vettore ortogonale al piano, ho scritto che:
$vec a * vec v$ $= 0$
$vec a * vec v = 2l + m = 0$
$vec v = (l, -2l, n)$
Non so sinceramente dove sbaglio, ma non va bene perchè ho bisogno dei valori reali del vettore. In quanto dopo devo '' normalizzarlo '' per avere i coseni direttori.
Come posso risolvere questo problema?
Credo si tratti di una retta nel piano cartesiano, che dovrebbe essere una situazione nota dalle superiori.
Intendi dire che è lo studio di una retta nel piano cartesiano Oxy e non nello spazio?
Sì, penso intendesse quello... Altrimenti il testo non avrebbe senso (infatti, una retta nello spazio è descritta da due equazioni lineari).
L'unica alternativa che mi può venire in mente è che il testo dell'esercizio ti avesse già detto in precedenza chi è \(\pi\), fornendotene o chiedendoti di determinarne una rappresentazione (cartesiana o parametrica), e che l'ulteriore equazione che ti viene assegnata va aggiunta all'equazione di \(\pi\) per determinare \(r\).
L'unica alternativa che mi può venire in mente è che il testo dell'esercizio ti avesse già detto in precedenza chi è \(\pi\), fornendotene o chiedendoti di determinarne una rappresentazione (cartesiana o parametrica), e che l'ulteriore equazione che ti viene assegnata va aggiunta all'equazione di \(\pi\) per determinare \(r\).
No gugo, l'esercizio inizia proprio in quel modo che ho scritto.
A questo punto penso anche io che sia una retta nel piano Oxy, o che semplicemente è uno di quei problemi con un dato mancante!
A questo punto penso anche io che sia una retta nel piano Oxy, o che semplicemente è uno di quei problemi con un dato mancante!
Ho questo esercizio:
Trovare un piano passante per l'origine $O$ e per la retta $r$. Le coordinate della retta sono:
$r: {(x+y-z+3=0),(x-y+2z=0):}$
Io ho risolto l'esercizio (non so se bene o male) in questo modo..
Trovo i parametri direttori della retta ed un punto appartenente ad essa. Ho calcolare il prodotto vettoriale tra il vettore parallelo e concorde alla retta e il vettore congiungente il punto $O$ che appartiene al piano e il punto che appartiene alla retta, perchè non so che posizione ha la retta nel piano. I risultati del prodotto vettoriale li ho sostituiti ai parametri di giacenza del piano e poi, facendo passare $O$, ho calcolato l'incognita $d$ del piano.
Però la mia professoressa mi chiede di risolverlo in un altro modo: considerare quella retta come centro per cui passa un fascio di piani ed imporre il passaggio del punto. E ci ho provato, ma viene una cosa del genere:
$F : h*(x+y-z+3) + k*(x-y+2z) = 0$
Impongo il passaggio per $O = (0, 0, 0)$:
$F : h*3 = 0$
E poi? Non posso ricavare niente!
Trovare un piano passante per l'origine $O$ e per la retta $r$. Le coordinate della retta sono:
$r: {(x+y-z+3=0),(x-y+2z=0):}$
Io ho risolto l'esercizio (non so se bene o male) in questo modo..
Trovo i parametri direttori della retta ed un punto appartenente ad essa. Ho calcolare il prodotto vettoriale tra il vettore parallelo e concorde alla retta e il vettore congiungente il punto $O$ che appartiene al piano e il punto che appartiene alla retta, perchè non so che posizione ha la retta nel piano. I risultati del prodotto vettoriale li ho sostituiti ai parametri di giacenza del piano e poi, facendo passare $O$, ho calcolato l'incognita $d$ del piano.
Però la mia professoressa mi chiede di risolverlo in un altro modo: considerare quella retta come centro per cui passa un fascio di piani ed imporre il passaggio del punto. E ci ho provato, ma viene una cosa del genere:
$F : h*(x+y-z+3) + k*(x-y+2z) = 0$
Impongo il passaggio per $O = (0, 0, 0)$:
$F : h*3 = 0$
E poi? Non posso ricavare niente!
Quindi \(h=0\) e l'equazione del piano cercato la ottieni prendendo, ad esempio, \(k=1\) nel fascio.
In particolare, trovi \(x-y+2z=0\)... Il che è anche ovvio, perché il secondo piano che individua \(r\) passa per l'origine e, quindi, è l'unico piano del fascio di asse \(r\) a passare per l'origine.
Ciò insegna a non fare passaggi mecanicamente, ma a guardare prima com'è la situazione.
P.S.: Ad ogni modo, ti sei scelto il modo più lungo, perché devi fare due prodotti vettoriali.
Per fare prima un esercizio del genere, basta prendere due punti su \(r\), e.g. \(A=(-3,3,3)\) e \(B=(-1,-3,-1)\) (determinati "a occhio"), e scrivere le equazioni parametriche del piano per \(O\), \(A\) e \(B\).
In particolare, trovi \(x-y+2z=0\)... Il che è anche ovvio, perché il secondo piano che individua \(r\) passa per l'origine e, quindi, è l'unico piano del fascio di asse \(r\) a passare per l'origine.
Ciò insegna a non fare passaggi mecanicamente, ma a guardare prima com'è la situazione.
P.S.: Ad ogni modo, ti sei scelto il modo più lungo, perché devi fare due prodotti vettoriali.
Per fare prima un esercizio del genere, basta prendere due punti su \(r\), e.g. \(A=(-3,3,3)\) e \(B=(-1,-3,-1)\) (determinati "a occhio"), e scrivere le equazioni parametriche del piano per \(O\), \(A\) e \(B\).
Ah, ecco. Quindi in pratica ho $h = 0$ e rivedo il fascio di piani come:
$F : k * ( x - y + 2z ) = 0$
Do un valore come $k = 1$ ed ho $x - y + 2z$. Questa è l'equazione del piano con $vec a = (1, -1, 2)$?
E da qui calcolo $d$ ed ho l'equazione del piano completa?
Gugo solo che non capisco dove ho fatto il prodotto vettoriale!
$F : k * ( x - y + 2z ) = 0$
Do un valore come $k = 1$ ed ho $x - y + 2z$. Questa è l'equazione del piano con $vec a = (1, -1, 2)$?
E da qui calcolo $d$ ed ho l'equazione del piano completa?
Gugo solo che non capisco dove ho fatto il prodotto vettoriale!
"Mr.Mazzarr":
Ah, ecco. Quindi in pratica ho $h = 0$ e rivedo il fascio di piani come:
$F : k * ( x - y + 2z ) = 0$
Do un valore come $k = 1$ ed ho $x - y + 2z$.
In verità, ottieni già l'equazione del piano che ti interessa, cioé \(x - y + 2z=0\).
"Mr.Mazzarr":
Questa è l'equazione del piano con $vec a = (1, -1, 2)$?
Quella che ho scritto con l'\(=0\) è l'equazione del piano con quel vettore normale.
"Mr.Mazzarr":
E da qui calcolo $d$ ed ho l'equazione del piano completa?
Come ti ho detto sopra, dal fascio ottieni già l'equazione completa del piano; non c'è bisogno di fare altro.
"Mr.Mazzarr":
Gugo solo che non capisco dove ho fatto il prodotto vettoriale!
Credevo l'avessi fatto tra i vettori normali ai due piani per individuare il vettore direzionale di \(r\) e poi ne avessi fatto un altro per trovare il vettore normale al piano incognito... Ma probabilmente non hai fatto così.
Ah, sì il prodotto vettoriale l'ho fatto nel primo procedimento, quello che ho dovuto escludere perchè la mia professoressa vuole che lo faccia diversamente! Scusa, m'ero dimenticato 
D'accordo, quindi ottengo già l'equazione del piano. Bene così
D'accordo, quindi ottengo già l'equazione del piano. Bene così
"Mr.Mazzarr":
Un'altro dubbio riguardo sempre rette ed esercizi affini:
'' Data la retta $r : 2x + y - 3 = 0$ di un piano $pi$, calcolare i numeri direttori della retta e i coseni direttori, considerando che la retta forma un angolo acuto con l'asse y. ''
Il problema è che mi da un'unica equazione, che a tal punto suppongo sia l'equazione del piano $pi$. Quindi si tratta di trovare un vettore parallelo al piano, e quindi ortogonale al vettore dei parametri di giacitura.
Detto $vec v$ il vettore parallelo al piano e $vec a$ il vettore ortogonale al piano, ho scritto che:
$vec a * vec v$ $= 0$
$vec a * vec v = 2l + m = 0$
$vec v = (l, -2l, n)$
Non so sinceramente dove sbaglio, ma non va bene perchè ho bisogno dei valori reali del vettore. In quanto dopo devo '' normalizzarlo '' per avere i coseni direttori.
Come posso risolvere questo problema?
Riuppo un attimo questo post, perchè proprio non so calcolare i numeri direttori! Potreste darmi una mano?
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