Rette ortogonali e perpendicolari
ragazzi ho bisogno urgentemente del vostro aiuto!!
1) Se io ho due rette parallele quante rette ci sono ortogonali a queste 2 rette?
- nessuna
- una sola
- due
- più di due, ma in numero finito
- infinite
2) Considerando ancora due rette parallele, quante rette ci sono perpendicolari ad esse?
- nessuna
- una sola
- due
- più di due, ma in numero finito
- infinite
ora nel caso appunto che le due rette siano parallele ho infinite rette perpendicolari e ortogonali ad esse giusto???
ma se le due rette fossere sghembe o incidenti?
quante rette ci sono ortogonali e perpendicolari a due rette sghembe?
quante rette ci sono ortogonali e perpendicolari a due rette incidenti??
HELP!!!
grazie in anticipo....
1) Se io ho due rette parallele quante rette ci sono ortogonali a queste 2 rette?
- nessuna
- una sola
- due
- più di due, ma in numero finito
- infinite
2) Considerando ancora due rette parallele, quante rette ci sono perpendicolari ad esse?
- nessuna
- una sola
- due
- più di due, ma in numero finito
- infinite
ora nel caso appunto che le due rette siano parallele ho infinite rette perpendicolari e ortogonali ad esse giusto???
ma se le due rette fossere sghembe o incidenti?
quante rette ci sono ortogonali e perpendicolari a due rette sghembe?
quante rette ci sono ortogonali e perpendicolari a due rette incidenti??
HELP!!!
grazie in anticipo....
Risposte
Benvenuta, Lisa!
Che io sappia perpendicolare e ortogonale sono la stessa cosa, cfr. E. Sernesi, Geometria I, 19.2.
Quindi direi che una retta è ortogonale a due rette se e solo se appartiene all'intersezione di due qualunque iperpiani ortogonali rispettivamente ad una e all'altra.
Se sono parallele, ogni iperpiano ortogonale ad una lo è all'altra, perché un iperpiano e una retta sono ortogonali se e solo se ogni vettore della giacitura dell'iperpiano è ortogonale alla giacitura della retta e rette parallele hanno la stessa giacitura. Quindi direi che tutte le infinite rette degli infiniti iperpiani ortogonali alle rette soddisfano l'ortogonalità ad entrambe le rette.
Qui direi che la somma delle giaciture \(\mathbf{W}\) e \(\mathbf{U}\) dei due iperpiani ortogonali $H$ e $H'$ alle due rette, diciamo $r$ e $r'$, genera tutto lo spazio vettoriale \(\mathbf{V}\) associato al nostro spazio affine euclideo \(\mathbf{E}\) di dimensione $n$ dove stanno le rette, perché, se per assurdo non lo facesse, i due iperpiani, data la dimensione $n-1$, dovrebbero essere paralleli e le rette ad essi ortogonali dovrebbero essere parallele tra loro. Quindi dato che se e solo se \(\mathbf{W}+\mathbf{U}=\mathbf{V}\) si ha (cfr. E. Sernesi, op. cit., 8.9) che \[\dim(H\cap H')=\dim(H)+\dim(H')-\dim(\mathbf{E})\]
abbiamo, mi pare, che \(H\cap H'\) contiene almeno una retta se e solo se \(\dim(\mathbf{E})>2\). E, data l'infinità delle intersezioni \(H\cap r\) e \(H'\cap r'\) che puoi scegliere per costruire gli iperpiani \(H\perp r\) e \(H'\perp r'\), direi che, se e solo se \(\dim(\mathbf{E})>2\), le rette ortogonali a rette sghembe o incidenti sono infinite.
Nel caso bidimensionale, nessuna retta può essere ortogonale a due rette incidenti, com'è ovvio nel caso del piano ordinario.
Ho citato il libro che uso io, ma credo che si tratti di proposizioni che si trovano su ogni libro di geometria affine...
Spero di venire corretto se ho detto scemenze...
Ciao!
"Lisa993":
ora nel caso appunto che le due rette siano parallele ho infinite rette perpendicolari e ortogonali ad esse giusto???
Che io sappia perpendicolare e ortogonale sono la stessa cosa, cfr. E. Sernesi, Geometria I, 19.2.
Quindi direi che una retta è ortogonale a due rette se e solo se appartiene all'intersezione di due qualunque iperpiani ortogonali rispettivamente ad una e all'altra.
Se sono parallele, ogni iperpiano ortogonale ad una lo è all'altra, perché un iperpiano e una retta sono ortogonali se e solo se ogni vettore della giacitura dell'iperpiano è ortogonale alla giacitura della retta e rette parallele hanno la stessa giacitura. Quindi direi che tutte le infinite rette degli infiniti iperpiani ortogonali alle rette soddisfano l'ortogonalità ad entrambe le rette.
"Lisa993":
ma se le due rette fossere sghembe o incidenti?
Qui direi che la somma delle giaciture \(\mathbf{W}\) e \(\mathbf{U}\) dei due iperpiani ortogonali $H$ e $H'$ alle due rette, diciamo $r$ e $r'$, genera tutto lo spazio vettoriale \(\mathbf{V}\) associato al nostro spazio affine euclideo \(\mathbf{E}\) di dimensione $n$ dove stanno le rette, perché, se per assurdo non lo facesse, i due iperpiani, data la dimensione $n-1$, dovrebbero essere paralleli e le rette ad essi ortogonali dovrebbero essere parallele tra loro. Quindi dato che se e solo se \(\mathbf{W}+\mathbf{U}=\mathbf{V}\) si ha (cfr. E. Sernesi, op. cit., 8.9) che \[\dim(H\cap H')=\dim(H)+\dim(H')-\dim(\mathbf{E})\]
abbiamo, mi pare, che \(H\cap H'\) contiene almeno una retta se e solo se \(\dim(\mathbf{E})>2\). E, data l'infinità delle intersezioni \(H\cap r\) e \(H'\cap r'\) che puoi scegliere per costruire gli iperpiani \(H\perp r\) e \(H'\perp r'\), direi che, se e solo se \(\dim(\mathbf{E})>2\), le rette ortogonali a rette sghembe o incidenti sono infinite.
Nel caso bidimensionale, nessuna retta può essere ortogonale a due rette incidenti, com'è ovvio nel caso del piano ordinario.
Ho citato il libro che uso io, ma credo che si tratti di proposizioni che si trovano su ogni libro di geometria affine...
Spero di venire corretto se ho detto scemenze...
Ciao!
sei stato molto chiaro e preciso e ti ringrazio infinitamente per la risposta che mi hai dato!! grazie!!
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