Rette nello spazio (esercizio)
Salve a tutti, ho bisogno del vostro aiuto per questo esercizio, è il primo che faccio quindi non sono sicura di averlo svolto correttamente...
Determinare la retta giacente sul piano $\alpha:3x-2y+z=0$, incidente alla retta $\vec r:x-2y=z-x=0$ e perpendicolare alla retta $\vec s:2x-y+z=z-2x=0$
Io l'ho svolto così: se $\vec t$ giace su $\alpha$ e incontra $\vec r$, lo farà nel punto di intersezione di $\alpha$ con $\vec r$:
$\alpha nn \vec r:$ ${(3x-2y+z=0),(x-2y=0),(z-x=0):} rArr {(x=0),(y=0),(z=0):}$ quindi $(0,0,0) in \vec t$
scriviamo la retta $\vec s$ come ${(x=t),(y=4t),(z=2t):}$
i piani ortogonali ad $\vec s$ hanno quindi equazione: $x+4y+2z+d=0$ e imponendo il passagio per $(0,0,0)$ troviamo il valore di $d$ del piano che contiene $\vec t$:
$d=0 rArr \pi: x+4y+2z=0$
la retta $\vec t$ sarà allora l'intersezione tra $\alpha$ e $\pi$
$\vec t:-14y-5z=0$
Ho sbagliato qualcosa?
Determinare la retta giacente sul piano $\alpha:3x-2y+z=0$, incidente alla retta $\vec r:x-2y=z-x=0$ e perpendicolare alla retta $\vec s:2x-y+z=z-2x=0$
Io l'ho svolto così: se $\vec t$ giace su $\alpha$ e incontra $\vec r$, lo farà nel punto di intersezione di $\alpha$ con $\vec r$:
$\alpha nn \vec r:$ ${(3x-2y+z=0),(x-2y=0),(z-x=0):} rArr {(x=0),(y=0),(z=0):}$ quindi $(0,0,0) in \vec t$
scriviamo la retta $\vec s$ come ${(x=t),(y=4t),(z=2t):}$
i piani ortogonali ad $\vec s$ hanno quindi equazione: $x+4y+2z+d=0$ e imponendo il passagio per $(0,0,0)$ troviamo il valore di $d$ del piano che contiene $\vec t$:
$d=0 rArr \pi: x+4y+2z=0$
la retta $\vec t$ sarà allora l'intersezione tra $\alpha$ e $\pi$
$\vec t:-14y-5z=0$
Ho sbagliato qualcosa?
Risposte
A me sembra che i passaggi siano tutti giusti, ma proprio alla fine vuoi esprimere giustamente $t$ come $alpha nn pi$.. E non lo fai?
L'ultima equazione che hai scritto, così da sola, non può rappresentare $t$!
L'ultima equazione che hai scritto, così da sola, non può rappresentare $t$!
grazie della risposta Trilogy, come dovrei fare per rappresentare $t$? Non mi è chiaro...
Ma esattamente come hai detto, come intersezione dei due piani..
Nota che in generale con una equazione tu puoi rappresentare una superficie, ad esempio un piano. Invece per rappresentare una curva, ad esempio una retta, in generale te ne servono di più.
Un modo per rappresentare una retta è intersecando due piani, e per intersecare piani, o altre superfici, non fai altro che mettere in sistema le equazioni che li rappresentano!
Tu probabilmente questo sistema l'hai scritto, ma poi hai perso un'equazione.. In qualche modo hai eliminato la $x$, ma non puoi prescindere dalle due equazioni!
Nota che in generale con una equazione tu puoi rappresentare una superficie, ad esempio un piano. Invece per rappresentare una curva, ad esempio una retta, in generale te ne servono di più.
Un modo per rappresentare una retta è intersecando due piani, e per intersecare piani, o altre superfici, non fai altro che mettere in sistema le equazioni che li rappresentano!
Tu probabilmente questo sistema l'hai scritto, ma poi hai perso un'equazione.. In qualche modo hai eliminato la $x$, ma non puoi prescindere dalle due equazioni!
quindi devo solo scrivere le due equazioni come sistema?
${(x+4y+2z=0),(3x-2y+z=0):}$ così e basta?
${(x+4y+2z=0),(3x-2y+z=0):}$ così e basta?
Esatto
ok, grazie mille ^_^
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