Rette isotrope
Scusate avrei bisogno di una spiegazione:
durante il corso, in particolare quando abbiamo diagonalizzato la matrice di Pauli $\sigma_2=|(0,i),(-i,0)|$ e la matrice rotazione per $\alpha=pi/2, A=|(0,-1),(1,0)|$ il professore ha trovato gli autospazi ottenendo in entrambi i casi le equazioni $z_2=iz_1,z_2=-iz_1, z_1,z_2 \in CC$. Ha continuato dicendo poi entrambe le volte, in maniera molto veloce, che tali equazioni sono dette rette isotrope e che sono invarianti alla rotazione di $90°$.(la frase esatta pronunciata dal professore non me la ricordo purtroppo)
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi cosa sono queste rette isotrope il mio libro non le nomina mai e il professore ha detto solo questo ma sinceramente non ho mai ben capito da dove fossero uscite. E anche la spiegazione di quella frase che ho sottolineato per favore. Ringrazio già chi avrà voglia di rispondermi.
P.S. potrei aver scritto qualche cavolata per favore siate clementi, gli unici appunti che ho preso sono questi purtroppo
durante il corso, in particolare quando abbiamo diagonalizzato la matrice di Pauli $\sigma_2=|(0,i),(-i,0)|$ e la matrice rotazione per $\alpha=pi/2, A=|(0,-1),(1,0)|$ il professore ha trovato gli autospazi ottenendo in entrambi i casi le equazioni $z_2=iz_1,z_2=-iz_1, z_1,z_2 \in CC$. Ha continuato dicendo poi entrambe le volte, in maniera molto veloce, che tali equazioni sono dette rette isotrope e che sono invarianti alla rotazione di $90°$.(la frase esatta pronunciata dal professore non me la ricordo purtroppo)
Qualcuno potrebbe gentilmente spiegarmi cosa sono queste rette isotrope il mio libro non le nomina mai e il professore ha detto solo questo ma sinceramente non ho mai ben capito da dove fossero uscite. E anche la spiegazione di quella frase che ho sottolineato per favore. Ringrazio già chi avrà voglia di rispondermi.
P.S. potrei aver scritto qualche cavolata per favore siate clementi, gli unici appunti che ho preso sono questi purtroppo
Risposte
Procediamo con calma.
La matrice
$A=|(0,-1),(1,0)| $
ha come autovalori $i, -i$.
Gli autovettori sono $1+i, 1-i$.
Se il piano complesso lo sovrapponiamo al piano cartesiano, gli autospazi sono le rette:
$x=y$
e
$x=-y$
Se prendi una delle rette e la ruoti di 90 gradi, ottieni l'altra retta.
Credo che "invarianti alla rotazione di 90 gradi" e il resto vada inteso in questo senso.
Rette "isotrope" perche' sono gli autovettori.
La matrice
$A=|(0,-1),(1,0)| $
ha come autovalori $i, -i$.
Gli autovettori sono $1+i, 1-i$.
Se il piano complesso lo sovrapponiamo al piano cartesiano, gli autospazi sono le rette:
$x=y$
e
$x=-y$
Se prendi una delle rette e la ruoti di 90 gradi, ottieni l'altra retta.
Credo che "invarianti alla rotazione di 90 gradi" e il resto vada inteso in questo senso.
Rette "isotrope" perche' sono gli autovettori.
Non solo le rette sono autospazi, ma sono luoghi geometrici perpendicolari a se stessi.
Nel piano reale, due rette sono perpendicolari se $m=-1/m rArr m^2=-1=i^2$ il che rende impossibile che abbiano il medesimo coefficiente angolare. Nel piano di Argand invece l'equazione ha due soluzioni $m=+-i$
Quindi le rette $z_2=+-iz_1$ sono entrambe perpendicolari a se stesse, ovvero isotrope.
Nel piano reale, due rette sono perpendicolari se $m=-1/m rArr m^2=-1=i^2$ il che rende impossibile che abbiano il medesimo coefficiente angolare. Nel piano di Argand invece l'equazione ha due soluzioni $m=+-i$
Quindi le rette $z_2=+-iz_1$ sono entrambe perpendicolari a se stesse, ovvero isotrope.
Mi trovo col ragionamento di Bokonon; ma il concetto di retta isotropa è ben altra cosa...
È possibile scrivere altri dettagli?
È possibile scrivere altri dettagli?
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