Rette incidenti nel piano proiettivo
Salve,
non mi convince un passaggio della dimostrazione della proposizione secondo la quale due rette nel piano proiettivo reale si intersecano in un unico punto:
Non riesco a capire l'implicazione che se le due rette sono distinte allora il rango è uguale a 1.
Se il rango è uguale a 1, le rette non dovrebbero essere proporzionali, determinare la stessa direziona ed essere cioè parallele?
non mi convince un passaggio della dimostrazione della proposizione secondo la quale due rette nel piano proiettivo reale si intersecano in un unico punto:
\( \mathcal{R},\mathcal{S} \subseteq \mathbb{P^2_R} \)
\( \mathcal{R}:ax+by+ct=0 \), \( \mathcal{S}:a'x+b'y+c't=0 \).
I punti di intersezione di R e S hanno coordinate omogenee che sono soluzione del sistema lineare omogeneo:
\( \begin{cases} ax+by+ct=0 \\ a'x+b'y+c't=0 \end{cases} \)
Poiché \( \mathcal{R}\neq \mathcal{S} \Rightarrow r\begin{pmatrix} a & b & c \\ a' & b' & c' \end{pmatrix}=1 \) e per Kronecker-Rouché-Capelli il sistema ha infinito alla uno soluzioni, cioè \( (k\lambda:l\lambda :m\lambda ), \lambda \in \mathbb{R} \), che per definizioni determinano un unico punto del pianto proiettivo.
Non riesco a capire l'implicazione che se le due rette sono distinte allora il rango è uguale a 1.
Se il rango è uguale a 1, le rette non dovrebbero essere proporzionali, determinare la stessa direziona ed essere cioè parallele?
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