Rette incidenti a due rette e distanti da un piano dato

[giacomospazzini]

Salve non riesco a svolgere questo esercizio.

In Ee3(R) si considerino le rette r : 2x + z − 1 = 0 = y + 6z − 2 ed s : y − 6z − 2 = 0 = x + z − 1
e il piano α : y + 1 = 0. Si determinino le equazioni cartesiane delle rette incidenti r ed s e distanti 3 dal piano α.

grazie

[sandroroma]

Si potrebbe procedere come segue.
Si calcolano le coordinate del punto generico P di r e del punto generico Q di s.
La retta PQ incide sia la retta r che la retta s, come richiesto dalla consegna. Successivamente si impongono
le condizioni che tale congiungente sia parallela al piano $\alpha $ ovvero ortogonale alla normale al piano
medesimo e la condizione che la medesima congiungente abbia distanza 3 dal piano dato, ovvero che il punto
generico della congiungente abbia distanza 3 da $\alpha$.
Queste due condizioni permettono di determinare le equazione delle rette richieste.
Passiamo ai calcoli
Con semplici passaggi si ha che_: $P(u,12u-4,1-2u),Q(v,8-6v,1-v)$ e quindi il vettore direzionale di PQ è:
$Q-P=(v-u,-6v-12u+12,2u-v)$
Imponendo che tale vettore sia parallelo al piano $\alpha$ ovvero perpendicolare alla normale a tale piano
si ha l'equazione : $-6v-12u+12=0$ da cui $v=2-2u$. Ne segue che :
(1) $P(u,12u-4,1-2u),Q(2-2u,12u-4,4u-2)$
Adesso va imposta la condizione che il vettore Q-P abbia distanza 3 dal piano $\alpha$ e ciò si può ottenere
imponendo che un punto generico di PQ ( per es. P) abbia distanza 3 da $\alpha$ e si ha l'equazione_
|y+1|=3 che nel caso nostro diventa |12u-3|=3 da cui si ricava che $u_1=0,u_2=1/2$
Sostituendo tali valori nelle coordinate di P e Q e determinando poi le 2 equazioni possibili per la retta PQ
si ha quanto richiesto.