Rette in $E^3$
Buon pomeriggio, scusatemi per la domanda, in $E^3$, date due rette sghembe, è possibile trovare l'equazione di una terza retta perpendicolare a entrambe e che intersechi entrambe?
Credo che, per quanto riguarda la giacitura, si possa utilizzare il duale di Hodge, poi andrebbe imposta la condizione di appartenenza ma ho qualche dubbio su come fare, anche perchè i calcoli mi sembrano abbastanza difficili...
Grazie per la disponibilità e buona giornata!
Credo che, per quanto riguarda la giacitura, si possa utilizzare il duale di Hodge, poi andrebbe imposta la condizione di appartenenza ma ho qualche dubbio su come fare, anche perchè i calcoli mi sembrano abbastanza difficili...
Grazie per la disponibilità e buona giornata!
Risposte
.
Va bene, grazie mille!
Perlomeno questo è ciò che farei in \(\mathbb{R}^3\), in \(E^3\) non ho idea, non lo conosco.
Scusa come sarebbe a dire che non conosci $E^3$ sarebbe lo spazio euclideo tridimensionale, lo spazio affine per antonomasia, l'ambiente naturale in cui esistono rette punti e piani. In $\mathbb R^3$ le operazioni da te descritte credo non abbiano neppure senso perché esso viene inteso come spazio vettoriale e la parola retta viene intesa come sottospazio vettoriale , cioè una retta per l'origine.
.
Quando in $\mathbb R^n$ parli di rette stai implicitamente utilizzando la parola retta come etichetta per un sottospazio vettoriale unidimensionale. Ma se utilizzi la parola retta nell'accezione euclidea del termine ( che poi è quella autentica) allora ti stai riferendo ad un insieme di punti dello spazio euclideo che non ha nulla a che fare con $\mathbb R^n$. Per questo bisogna inventarsi il concetto di spazio affine . Tutta l'ambiguità nasce dall'uso della parola italiana retta che assume sembianze diverse a seconda dei casi. Nelle geometrie non euclidee la parola retta può diventare un arco di circonferenza
Tra l'altro tu stai facendo la sottrazione tra due punti , ma in $\mathbb R^3$ non esistono punti, esistono solo vettori
Mentre tu stai sottraendo due oggetti inesistenti in quell'insieme, poi stai implicitamente dichiarando che quella sottrazione da origine ad un vettore e poi calcoli un prodotto scalare.
Tra l'altro tu stai facendo la sottrazione tra due punti , ma in $\mathbb R^3$ non esistono punti, esistono solo vettori
Mentre tu stai sottraendo due oggetti inesistenti in quell'insieme, poi stai implicitamente dichiarando che quella sottrazione da origine ad un vettore e poi calcoli un prodotto scalare.
.
Respiriamo con calma, e non mi fate alzare la voce...
Con \(\displaystyle\mathbb{E}^n\) si indica (usualmente) lo spazio vettoriale euclideo su \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con prodotto scalare standard, mentre con \(\displaystyle\mathcal{E}^n\) si indica lo spazio affine euclideo il cui spazio (vettoriale euclideo) direttore è \(\displaystyle\mathbb{E}^n\).
Dal punto di vista insiemistico, questi non sono nè più né meno che \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con strutture extra!
Quindi è "normale" che alcune persone scrivano semplicemente \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) poiché, ripeto, insiemisticamente non ci si muove da lì!
Io, personalmente, mi attengo alle distinzioni di cui sopra; anche per sottolineare che i concetti, ad esempio, di lunghezza ed angolo di vettori necessitano di un prodotto scalare sullo spazio vettoriale; o che la distanza tra punti, retti e piani richiede la struttura di spazio affine euclideo. Mentre il concetto di parallelelismo è insito nella struttura di spazio affine.
Con \(\displaystyle\mathbb{E}^n\) si indica (usualmente) lo spazio vettoriale euclideo su \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con prodotto scalare standard, mentre con \(\displaystyle\mathcal{E}^n\) si indica lo spazio affine euclideo il cui spazio (vettoriale euclideo) direttore è \(\displaystyle\mathbb{E}^n\).
Dal punto di vista insiemistico, questi non sono nè più né meno che \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) con strutture extra!
Quindi è "normale" che alcune persone scrivano semplicemente \(\displaystyle\mathbb{R}^n\) poiché, ripeto, insiemisticamente non ci si muove da lì!
Io, personalmente, mi attengo alle distinzioni di cui sopra; anche per sottolineare che i concetti, ad esempio, di lunghezza ed angolo di vettori necessitano di un prodotto scalare sullo spazio vettoriale; o che la distanza tra punti, retti e piani richiede la struttura di spazio affine euclideo. Mentre il concetto di parallelelismo è insito nella struttura di spazio affine.
Ma per spazio affine euclideo intendi lo spazio affine numerico ? Lo spazio $\Omega$ della geometria euclidea non ha proprio nulla a che vedere con $\mathbb R^3$ , lo spazio vettoriale sul quale ci si appoggia è quello dei vettori liberi.
Ma che stai dicendo? Lo spazio dei vettori liberi, per citarti, è uno spazio vettoriale, per giunta isomorfo a \(\mathbb{R}^n\)!
Ma forse tu stai scherzando. Lo spazio dei vettori geometrici applicati , cioè le freccette che disegni sul piano euclideo congiungendo due punti. Secondo te il piano euclideo dove appunto lavorava Euclide ha qualcosa a che fare con $\mathbb R^2$.?
Adesso iniziamo a parlare di isomorfismi e che ogni spazio vettoriale n-dimensionale è isomorfo a $\mathbb R^n$ come se importasse a qualcuno. Il punto del discorso è che la ragazza non ha proprio capito cosa sia uno spazio affine, e che in teoria esistono due insiemi distinti uno dei quali sarà l'insieme dei punti e l'altro lo spazio vettoriale. E poi ovviamente puoi scegliere sia il primo che il secondo coincidenti con $\mathbb R^n$ , andando a caratterizzare lo spazio affine numerico. Certo a leggere il tuo intervento dubito che lo abbia capito perché tu in sostanza hai liquidato il discorso scrivendo che tutto si riduce a $\mathbb R^n$
Adesso iniziamo a parlare di isomorfismi e che ogni spazio vettoriale n-dimensionale è isomorfo a $\mathbb R^n$ come se importasse a qualcuno. Il punto del discorso è che la ragazza non ha proprio capito cosa sia uno spazio affine, e che in teoria esistono due insiemi distinti uno dei quali sarà l'insieme dei punti e l'altro lo spazio vettoriale. E poi ovviamente puoi scegliere sia il primo che il secondo coincidenti con $\mathbb R^n$ , andando a caratterizzare lo spazio affine numerico. Certo a leggere il tuo intervento dubito che lo abbia capito perché tu in sostanza hai liquidato il discorso scrivendo che tutto si riduce a $\mathbb R^n$
Scusa la domanda: ma sai la differenza tra vettore libero e vettore applicato? 
Non devi scusarti per la domanda. Nel caso dei vettori geometri applicati in un punto del piano euclideo, ottieni i vettori liberi quozientando per la relazione di equipollenza. Nel caso di uno spazio affine generico i vettori dello spazio vettoriale associato vengono appunti definiti vettori liberi.
Ora io voglio sottolineare che quando si parla di $\mathbb R^n$ esso viene inteso come un $\mathbb R$ spazio vettoriale, e non può essere confuso con lo spazio affine numerico dove invece ha senso parlare di rette sghembe e quant'altro. Anzi l'ambiente naturale dove esistono quegli enti è proprio lo spazio $\Omega$ della geometria euclidea.
Tutto qui
Ora io voglio sottolineare che quando si parla di $\mathbb R^n$ esso viene inteso come un $\mathbb R$ spazio vettoriale, e non può essere confuso con lo spazio affine numerico dove invece ha senso parlare di rette sghembe e quant'altro. Anzi l'ambiente naturale dove esistono quegli enti è proprio lo spazio $\Omega$ della geometria euclidea.
Tutto qui
"Brufus":
[...] voglio sottolineare che quando si parla di $\mathbb R^n$ esso viene inteso come un $\mathbb R$ spazio vettoriale [...]
Ed ecco come una convenzione locale diventa magicamente universale...
Se studi Matematica, dovrai faticare non poco per liberarti di questi abiti mentali.[nota]In realtà, questi abiti andrebbero dismessi sin dalla scuola dell'obbligo, non ci sarebbe bisogno di arrivare all'università per farlo.[/nota]
Buon lavoro su te stesso.
@Brufus Mi verrebbe da domandarti come definisci questo spazio \(\displaystyle\Omega\)?!
O più in generale, come definisci gli spazi affini ed affini euclidei?!
P.S.: \(\displaystyle\mathbb{R}\) come \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale è molto interessante.
O più in generale, come definisci gli spazi affini ed affini euclidei?!
P.S.: \(\displaystyle\mathbb{R}\) come \(\displaystyle\mathbb{Q}\)-spazio vettoriale è molto interessante.
Mi verrebbe da domandarti come definisci questo spazio
Non saprei, dovresti chiederlo a Euclide mentre scriveva la sua opera. Dovresti anche chiedere ad Euclide cosa sia una retta visto che non l'ha mai definita. In ogni caso $\Omega$ è proprio l'ambiente in cui Euclide lavora con i suoi enti primitivi. E stai sicuro che non è $\mathbb R^2$
come definisci gli spazi affiniLo spazio affine numerico su un campo $K$ si definisce $mathbb A_K$ quindi quello che tu impropriamente ( anzi scorrettamente) chiami $\mathbb R^n$ si dovrebbe scrivere $\mathbb A_{\mathbb R}$.
Ah, tutto chiaro!
Io chiamo spazio affine su un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\) una coppia \(\displaystyle(\mathbb{A},\alpha)\) ove \(\displaystyle\mathbb{A}\) è un insieme ed \(\displaystyle\alpha\) è l'azione iniettiva e transitiva del gruppo additivo di un \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettorale \(\displaystyle\mathbb{V}\) su \(\displaystyle\mathbb{A}\). In particolare \(\displaystyle\mathbb{V}\) si chiama spazio vettoriale dei vettori liberi.
Per giunta, fissando un punto \(\displaystyle O\in\mathbb{A}\) posso dotare \(\displaystyle\mathbb{A}\) di un('unic)a struttura di \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettoriale, la quale è isomorfa a \(\displaystyle\mathbb{V}\). La terna \(\displaystyle(\mathbb{A},O,\varphi)\), con \(\displaystyle\varphi\) isomorfismo lineare precedentemente considerato, si definisce spazio vettoriale dei vettori applicati in \(\displaystyle O\).
E sempre a meno di isomorfismi, \(\displaystyle\mathbb{V}\) è isomorfo al \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettoriale libero su una qualsiasi base di \(\displaystyle\mathbb{V}\); il quale a sua volta è uno spazio affine. Per giunta si può dimostrare che questi è l'unico spazio affine, a meno di affinità, il cui spazio direttore sia \(\displaystyle\mathbb{V}\).
Quindi, supponendo che \(\displaystyle\mathbb{K}=\mathbb{R}\) e \(\displaystyle\dim\mathbb{V}=n\), a meno di biezioni si può assumere che \(\displaystyle\mathbb{A}\) sia \(\displaystyle\mathbb{R}^n\). E tale assunzione è molto più rigorosa e chiara di tal spazio (o insieme?) \(\displaystyle\Omega\) introdotto da tal Euclide che conosci te! L'Euclide che conosco io, autore di testi matematici antichi, non denotava gli oggetti che descriveva ingenuamente.
[xdom="j18eos"]Chiarito ciò: la discussione è definitivamente chiusa.[/xdom]
Io chiamo spazio affine su un campo \(\displaystyle\mathbb{K}\) una coppia \(\displaystyle(\mathbb{A},\alpha)\) ove \(\displaystyle\mathbb{A}\) è un insieme ed \(\displaystyle\alpha\) è l'azione iniettiva e transitiva del gruppo additivo di un \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettorale \(\displaystyle\mathbb{V}\) su \(\displaystyle\mathbb{A}\). In particolare \(\displaystyle\mathbb{V}\) si chiama spazio vettoriale dei vettori liberi.
Per giunta, fissando un punto \(\displaystyle O\in\mathbb{A}\) posso dotare \(\displaystyle\mathbb{A}\) di un('unic)a struttura di \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettoriale, la quale è isomorfa a \(\displaystyle\mathbb{V}\). La terna \(\displaystyle(\mathbb{A},O,\varphi)\), con \(\displaystyle\varphi\) isomorfismo lineare precedentemente considerato, si definisce spazio vettoriale dei vettori applicati in \(\displaystyle O\).
E sempre a meno di isomorfismi, \(\displaystyle\mathbb{V}\) è isomorfo al \(\displaystyle\mathbb{K}\)-spazio vettoriale libero su una qualsiasi base di \(\displaystyle\mathbb{V}\); il quale a sua volta è uno spazio affine. Per giunta si può dimostrare che questi è l'unico spazio affine, a meno di affinità, il cui spazio direttore sia \(\displaystyle\mathbb{V}\).
Quindi, supponendo che \(\displaystyle\mathbb{K}=\mathbb{R}\) e \(\displaystyle\dim\mathbb{V}=n\), a meno di biezioni si può assumere che \(\displaystyle\mathbb{A}\) sia \(\displaystyle\mathbb{R}^n\). E tale assunzione è molto più rigorosa e chiara di tal spazio (o insieme?) \(\displaystyle\Omega\) introdotto da tal Euclide che conosci te! L'Euclide che conosco io, autore di testi matematici antichi, non denotava gli oggetti che descriveva ingenuamente.
[xdom="j18eos"]Chiarito ciò: la discussione è definitivamente chiusa.[/xdom]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo