Rette- geometria nello spazio

[sara8787]

Salve, non capisco come fa a risolvere questo esercizio:

si considerino due rette
r: x=3+4t s: 2x+y+z-8=0
y=2-6t x+y-z-2=0
z=-1-2t
queste due rette sono parallele. devo trovare il piano P contentente r e s. e questo son riuscita a farlo.. trovando il piano 9x+5y+3z-34=0

ora devo determinare LA RETTA ORTOGONALE AD r, PARALLELA AL PINAO e passante per a=(1,0,3)
la soluzione dice ke il vettore direzionale della retta cercata è (v=normale al piano prodotto scalare vs)
dove normale=(9,5,3) e vs è dato da (vs=n1 prod scalare n2) dove n1(2,1,1) e n2(1,1,-1)

ma io non capisco il senso del prodotto scalare... cioè io l avrei ragionata cosi:dal momento che il piano contiene le rette allora prendo la normale del piano che sarà sicuramente ortogonale alla retta, trovo la retta che passa per il punto a e basta..cosa mi sfugge?

[Sk_Anonymous]

Credo che tu abbia confuso il prodotto vettoriale con quello scalare che qui non c'entra.
Osserviamo che la retta s e' data mediante due piani e quindi ,com'è noto,il suo vettore direzionale è
il prodotto vettoriale dei vettori direzionali dei 2 piani che la individuano cioè dei vettori
(2,1,1) e ( 1,1,-1).Le componenti di tale prodotto si ricavano dai minori della matrice:
$((2,1,1),(1,1,-1))$
ottenuti cancellando (simbolicamente ! ) le colonne una alla volta e quindi il vettore direzionale di s è $v_s=(-2,3,1)$
A questo si risultato si perviene più semplicemente osservando che il vettore direzionale di r ( che è lo stesso di s dato che le due rette sono parallele ) è ( 4,-6,-2) che semplificato per -2 dà uguale valore.
Ora la retta x che tu cerchi è ortogonale sia alla retta s ( od r) sia alla normale al piano da te trovato ed quindi ,come detto in precedenza,il suo vettore direzionale è il prodotto vettoriale dei vettori direzionali di r ( o di s ) e di questa normale.
La matrice da considerare è dunque:
$((-2,3,1),(9,5,3))$
Facendo i calcoli come prima si deduce che il vettore direzionale di x è ...
Adesso puoi continuare.