Rette e sottospazi

[matitti]

$R=Af{(1,0,1,0,0), (1,0,1,1,0)}, Q= Af{(1,1,1,0,0), (0,0,1,0,0)}, F= Af{(1,2,2,0,0), (2,0,2,0,0)}$ sono le tre rette.
Dire se le seguenti rette R e Q sono incidenti, parallele o sghembe e dare la dimensione del sottospazio da loro generato.
Per ultima cosa dare le dimensioni di: $R nn Af(Q uu F) $
allora io sinceramente sono in crisi su tutto l'esercizio, ma ci ho provato (fino a un certo punto).
Innanzitutto ho riscritto $R=(1,0,1,0,0)+L((1,0,1,1,0)-(1,0,1,0,0))=(1,0,1,0,0)+L(0,0,0,1,0)$
e stessa cosa per $ Q=(1,1,1,0,0)+L((1,1,1,0,0)-(0,0,1,0,0))=(1,1,1,0,0)+L(1,1,0,0,0)$
ora controllo se sono parallele:
$rk((0,0,0,1,0),(1,1,0,0,0))=2$ quindi non lo sono... giusto? doveva essere 1 per essere parallele...
bene... da ora io non sono più in grado di proseguire... mi dareste una mano?

[matitti]

ho capito come fare il parallelismo e le intersezioni... ma come calcolo la dimensione del sottospazio generato dalle rette?

[abbax]

Scusate se rispolverare questo vecchio post ma anche io ho lo stesso problema sull'intersezione...qualcuno potrebbe aiutare?

[matitti]

sono parallele se le due rette hanno la giacitura (direzione)linearmente dipendenti l'una dall'altra... fai il rango, se viene rango=1 allora sono parallele. Sono incidenti se il rango della matrice che ha come righe le due direzioni e la differenza tra i punti di appoggio è uguale al rango delle giaciture(quello che hai calcolato prima). Io la so così, spero sia giusto... ho ancora qualche problema. Soprattutto nel fare $RnnAf(QuuF)$ speriamo risponda qualcuno di esperto. Comunque per vedere se sono incidenti basta vedere se hanno l'intersezione non vuota, per farlo fai un sistema con le rappresentazioni cartesiane delle due rette.

[abbax]

sisi per il parallelismo è ok in quel modo... il problema è trovare \(\displaystyle {R}\cap{A}{f{{\left({Q}\cup{F}\right)}}} \) che non so come si faccia. Grassman non credo si possa usare. Io personalmente mi trovo le equazioni cartesiane e le metto a sistema per trovare le intersezioni, ma ci divento matto ogno volta

[matitti]

anche faccio come te.. Grassman non vale per gli affini quindi no, non lo puoi usare... sto cercando una scappatoia ma non la trovo...

[matitti]

senti ma se mi chiede lo spazio affine generato da due rette come faccio? è uguale a dire $AF(MUN)$ se le due rette sono M e N???

[abbax]

eh non saprei... purtroppo ho capito poco la differenza tra Af(MUN) e MUN e basta (quando M e N sono affini), infatti ho una domanda su questo argomento qui esercizio-affini-t108791.html

[matitti]

studiando ho scoperto:
M=P+AF(P2)
N=Q+AF(Q2)
AF(MUN)=AF(P,P2,Q,Q2)=P+L(P2-P,Q-P,Q2-P)

[abbax]

niente sull'intersezione??

[matitti]

dopo aver fatto quello che ti ho scritto io mi ricavo una rappresentazione cartesiana della retta e di Af(MUN), e metto tutto in un sistema. Il metodo funziona ma ci perdi molto tempo... speravo di trovare una soluzione migliore e più veloce visto che nella maggior parte delle volte mi viene richiesta soltanto la dimensione dell'intersezione...

[abbax]

Si pure io...e sono convinto che dato che spesso viene chiesta solo la dimensione, ci sia una formulina per trovarla

[matitti]

anche io ne sono convinto...
Senti ma se hai $A=P+L(P_2$) e $B=Q+L(Q_2)$
come è fatto A+B? So farlo con i sottospazi vettoriali ma non con gli affini...