Rette e piani nello spazio.
Salve a tutti.
Ho avuto dei problemi, dubbi, nella risoluzioni di alcuni esercizi dei quali non ho la soluzione. Ho aperto il libro e studiato questa parte ma qualche dubbio rimane sempre.
Chiedo a voi.
Grazie
Se un piano e una retta sono paralleli, mi basta verificare che il vettore della retta e quello normale al piano siano tra loro ortogonali, per vedere se tale retta appartiene al piano mi basta sostituire un punto qualsiasi della retta e vedere se soddisfa l'equazione del piano?e quindi sapere se la retta appartiene al piano o se è esterna!?.
..
Per conoscere l'equazione di un piano mi basterebbe conoscere un vettore normale al piano e un punto del piano stesso.
sarebbe sufficiente conoscere l'equazione della retta normale al piano, e quindi conoscere il vettore normale e un punto, quello della retta!??
Ho avuto dei problemi, dubbi, nella risoluzioni di alcuni esercizi dei quali non ho la soluzione. Ho aperto il libro e studiato questa parte ma qualche dubbio rimane sempre.
Chiedo a voi.
Grazie
Se un piano e una retta sono paralleli, mi basta verificare che il vettore della retta e quello normale al piano siano tra loro ortogonali, per vedere se tale retta appartiene al piano mi basta sostituire un punto qualsiasi della retta e vedere se soddisfa l'equazione del piano?e quindi sapere se la retta appartiene al piano o se è esterna!?.
..
Per conoscere l'equazione di un piano mi basterebbe conoscere un vettore normale al piano e un punto del piano stesso.
sarebbe sufficiente conoscere l'equazione della retta normale al piano, e quindi conoscere il vettore normale e un punto, quello della retta!??
Risposte
Per verificare il parallelismo tra retta e piano va bene fare quella cosa della normale. Per verificare se la retta appartiene al piano, come hai detto tu basta verificare che abbiano un punto comune.
Per la seconda domanda: nella situazione che descrivi come vettore normale al piano puoi usare quello di direzione della retta e per imporre il passaggio per un punto devi usare un punto del piano (la retta e il piano ne hanno solo uno in comune, non puoi prenderne uno a caso dalla retta).
Paola
Per la seconda domanda: nella situazione che descrivi come vettore normale al piano puoi usare quello di direzione della retta e per imporre il passaggio per un punto devi usare un punto del piano (la retta e il piano ne hanno solo uno in comune, non puoi prenderne uno a caso dalla retta).
Paola
Grazie paola..
Ti vorrei chiedere una cosa su questo esercizio..scusami,ma ho l' esame a breve e mille dubbi in testa.
r passa per A(1,-1,2) e B(2,1,3)
determinare la sua posizione con la retta 's' il loro eventuale punto in comune H, ed il piano 'f' che le contiene entrambe.Si determini poi la sfera di centro H tangente al piano 'd'.
s: x-y+2z-4=0, 2x+z+2=0.
la forma parametrica di s è: x=t, y=-3t-8, z=-2t-2.
la forma parametrica di r è: x=t+1, y=2t-1, z=t+2.
se (r X s)AS=0
r,s sono complanari....ma
mi viene diverso da zero quindi non esiste il punto H!?
queste due rette sono sghembe??se si , la seconda parte del problema non ha senso!?
Mi son spiegato male, per appartenere intendo che quella retta giace su quel piano.(appartiene tutta al piano)
Ti vorrei chiedere una cosa su questo esercizio..scusami,ma ho l' esame a breve e mille dubbi in testa.
r passa per A(1,-1,2) e B(2,1,3)
determinare la sua posizione con la retta 's' il loro eventuale punto in comune H, ed il piano 'f' che le contiene entrambe.Si determini poi la sfera di centro H tangente al piano 'd'.
s: x-y+2z-4=0, 2x+z+2=0.
la forma parametrica di s è: x=t, y=-3t-8, z=-2t-2.
la forma parametrica di r è: x=t+1, y=2t-1, z=t+2.
se (r X s)AS=0
r,s sono complanari....ma
mi viene diverso da zero quindi non esiste il punto H!?
queste due rette sono sghembe??se si , la seconda parte del problema non ha senso!?
"prime_number":
Per verificare il parallelismo tra retta e piano va bene fare quella cosa della normale. Per verificare se la retta appartiene al piano, come hai detto tu basta verificare che abbiano un punto comune.
Mi son spiegato male, per appartenere intendo che quella retta giace su quel piano.(appartiene tutta al piano)
Non capisco le tue notazioni. In ogni caso, i vettori direzione delle rette non sono linearmente dipendenti, dunque possiamo escludere il parallelismo. Mettile a sistema per vedere se esiste H. Se il sistema è impossibile, come sono le rette tra loro?
Se H esiste, dato che per individuare un piano sono sufficienti due vettori (indipendenti) e un punto, quali vettori e quale punto puoi usare per ottenere il piano che contiene r ed s?
Per l'ultima cosa che hai scritto: avevo capito bene, infatti se piano e retta sono paralleli e hanno un solo punto in comune, la retta appartiene per forza al piano.
Paola
Se H esiste, dato che per individuare un piano sono sufficienti due vettori (indipendenti) e un punto, quali vettori e quale punto puoi usare per ottenere il piano che contiene r ed s?
Per l'ultima cosa che hai scritto: avevo capito bene, infatti se piano e retta sono paralleli e hanno un solo punto in comune, la retta appartiene per forza al piano.
Paola
"prime_number":
Per l'ultima cosa che hai scritto: avevo capito bene, infatti se piano e retta sono paralleli e hanno un solo punto in comune, la retta appartiene per forza al piano.
Paola
Sono io che non ti seguo, se piano e retta sono paralleli e se hanno un punto in comune allora tutta la retta giace nel piano!?...nel senso che non esiste un solo punto in comune ma tutti i punti della retta (sono in comune) appartengono al piano!?
Se il sistema (4 equazioni e 3 incognite) fosse impossibile non avrei nessuna soluzione, non sono parallele, sono sghembe.
Se la matrice dei coeff fosse di rango 3=al rango della matrice dei termini noti allora avrei un punto in comune?.
Se le rette sono sghembe non esiste un piano che le contiene entrambe;Non esiste un'intersezione , non esiste H; la seconda parte dell'esercizio la posso trascurare!?
Se fossero incidenti farei il prodotto misto tra i vettori r,s,AX (A un punto della retta r), otterrei l'equazione del piano con i vettori r,s che giaciono sul piano, come punto potrei prendere anche H..?
Le rette sono comlanari..
H(-1,-5,0).
e il prodotto misto tra i vettori r,s ed RS è = 0; quindi sono complanari...
Grazie
H(-1,-5,0).
e il prodotto misto tra i vettori r,s ed RS è = 0; quindi sono complanari...
Grazie
"angelorive":
Sono io che non ti seguo, se piano e retta sono paralleli e se hanno un punto in comune allora tutta la retta giace nel piano!?...nel senso che non esiste un solo punto in comune ma tutti i punti della retta (sono in comune) appartengono al piano!?
Certo, è anche facile da visualizzare.
Le altre domande le hai risolte quindi?
Paola
"prime_number":
Non capisco le tue notazioni. In ogni caso, i vettori direzione delle rette non sono linearmente dipendenti, dunque possiamo escludere il parallelismo. Mettile a sistema per vedere se esiste H. Se il sistema è impossibile, come sono le rette tra loro?
Se H esiste, dato che per individuare un piano sono sufficienti due vettori (indipendenti) e un punto, quali vettori e quale punto puoi usare per ottenere il piano che contiene r ed s?
Paola
Ti riferisci a queste sopra!?..
per quel che ho capito,
-per la prima domanda,
Se il sistema è impossibile e il rango di (A|B) =4 mentre quello di (A)=3 le rette sono sghembe!?
se il rango di (A|B)=rango di (A) = 3 le rette hanno un punto in comune, sono complanari
-per la seconda domanda,
Farei il prodotto misto tra i vettori r,s e il vettore HX (x-a,y-b,z-c).
Scusa un'altra cosa..
In un sistema omogeneo mxn (righe x colonne) con m>n ,
il rango può essere al massimo n, se fosse proprio n avrei come unica soluzione il vettore nullo!?
al contrario in un sistema omogeneo con n>m , il rango può essere al massimo m e se fosse proprio m, avrei come soluzione infinito alla n-m + il vettore nullo!?
Grazie
Se metti a sistema due rette $r,s$ puoi ottenere un sistema:
- impossibile (le rette sono parallele o sghembe). Per determinare se sono parallele basta controllare i vettori direzione.
- determinato (le rette sono incidenti)
- indeterminato (le rette coincidono)
Non sono familiare con la storia del prodotto misto, non posso aiutarti.
Se hai una matrice $m\times n$ è chiaro che il rango al massimo può essere $min(m,n)$.
Se il sistema è omogeneo, non può mai essere impossibile (la soluzione nulla esiste sempre), dunque $r(A)=r(A')$ sempre, dove $A,A'$ sono rispettivamente la matrice incompleta e completa.
Detto ciò, si applica Rouchè Capelli: se $r(A)< $numero incognite, allora il sistema è indeterminato ed ha (numero incognite)$-r(A)$ parametri liberi. Se $r(A)$= numero incognite, allora è il sistema è determinato e la soluzione è per forza il vettore nullo.
Paola
- impossibile (le rette sono parallele o sghembe). Per determinare se sono parallele basta controllare i vettori direzione.
- determinato (le rette sono incidenti)
- indeterminato (le rette coincidono)
Non sono familiare con la storia del prodotto misto, non posso aiutarti.
Se hai una matrice $m\times n$ è chiaro che il rango al massimo può essere $min(m,n)$.
Se il sistema è omogeneo, non può mai essere impossibile (la soluzione nulla esiste sempre), dunque $r(A)=r(A')$ sempre, dove $A,A'$ sono rispettivamente la matrice incompleta e completa.
Detto ciò, si applica Rouchè Capelli: se $r(A)< $numero incognite, allora il sistema è indeterminato ed ha (numero incognite)$-r(A)$ parametri liberi. Se $r(A)$= numero incognite, allora è il sistema è determinato e la soluzione è per forza il vettore nullo.
Paola
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo