Rette e piani nello spazio

[antonio21941]

In $E^3$ mi vengono assegnati un piano $\pi:x-2y-2z+3=0$ e una retta $r:\{(2x-y+z-1=0),(y+z+1=0)}$ devo determinare:
1) le equazioni della proiezione ortogonale della retta $r$ sul piano $\pi$
2)le equazioni delle sfere di raggio $R=3$ tangenti il piano $\pi$ aventi il centro sulla retta $r$
é da un po che non guardo queste cose quindi non saprei come fare.

[shiva28]

Cos'è la proiezione ortogonale di una retta $r$ su un piano $pi$?
E' semplicemente l'intersezione del piano $pi$ con il piano $pi'$, dove quest'ultimo è il piano contenente $r$, perpendicolare al piano $pi$.

Io procederei così:
Trova l'equazione parametrica di $r$, così facendo ottieni il vettore "direzione" $vec(d)$ della retta.
La direzione normale del piano $pi$ è composta dalle costanti $a,b,c$ dell'equazione del piano $pi: \ \ \ x-2y-2z+3=0$

$vec(n)=( ( 1 ),( -2 ),( -2 ) ) $

l'equazione parametrica generica del piano $pi'$ è costituita da un punto e due direzioni.

Quindi, un punto potrebbe essere un punto qualsiasi $Q$ della retta $r$, mentre le due direzioni sono rispettivamente $vec(d)$ e $vec(n)$.

$pi': \ \ \ \ ( ( x ),( y ),( z ) ) =( ( Q_x ),( Q_y ),( Q_z ) ) +lambda \ vec(d)+ beta \ vec(n)$



Per la proiezione ortogonale di $r$ su $pi$, poni a sistema le due equazioni cartesiane di $pi$ e $pi'$, troverai una retta sul piano $pi$.

Ciao!

[antonio21941]

spiegazione perfetta.. e per il secondo punto come dovrei procedere?