Rette e piani incidenti
Salve a tutti!
vi posto il testo dell'esercizio e poi vi chiedo alcune cose che, purtroppo, non mi sono chiare....
Fra tutte le rette incidenti a r $\{(x=t+1),(y=t),(z=t+2):}$ trovarne una passante per il punto q= $(k,1,0)$
Detta s tale retta trovare il piano che contiene r,s e trovare una retta incidente a s e sghemba con r
allora, io stavo pensando a uno svolgimento del genere:
1) trovare un punto su r, che non è altro che p=$(1,0,2)$
2) trovare una retta passante per p e q, quindi incidente a r
3) trovare un piano contenente r e s
4) trovare una retta w incidente a s e sghemba con r contemporneamente.
1) il punto p lo troviamo gia dalla retta in forma parametrica
2) mi manca come trovare una retta (che in realtà è un piano nello spazio) passante per due punti
3) il piano contenente r e s lo trovo ponendo $\alpha$(equazione di r)+$\beta$(equazione di s)=0 oppure mettendop tutto a sistema??
4) in questo caso devo trovare dei opportuni valori di k taloe che la retta si comporti come indicato, giusto??
che ne dite???
vi posto il testo dell'esercizio e poi vi chiedo alcune cose che, purtroppo, non mi sono chiare....
Fra tutte le rette incidenti a r $\{(x=t+1),(y=t),(z=t+2):}$ trovarne una passante per il punto q= $(k,1,0)$
Detta s tale retta trovare il piano che contiene r,s e trovare una retta incidente a s e sghemba con r
allora, io stavo pensando a uno svolgimento del genere:
1) trovare un punto su r, che non è altro che p=$(1,0,2)$
2) trovare una retta passante per p e q, quindi incidente a r
3) trovare un piano contenente r e s
4) trovare una retta w incidente a s e sghemba con r contemporneamente.
1) il punto p lo troviamo gia dalla retta in forma parametrica
2) mi manca come trovare una retta (che in realtà è un piano nello spazio) passante per due punti
3) il piano contenente r e s lo trovo ponendo $\alpha$(equazione di r)+$\beta$(equazione di s)=0 oppure mettendop tutto a sistema??
4) in questo caso devo trovare dei opportuni valori di k taloe che la retta si comporti come indicato, giusto??
che ne dite???
Risposte
La tua idea di risoluzione è giusta.
Il problema è che non puoi pretendere di riuscire a metterla in pratica senza aver studiato (o comunque, se l'hai già fatto, dovresti approfondire di più).
Il punto 1) è ok. Un punto $P$ di $r$ è quello di coordinate $(1,0,2)$.
Per il punto 2), devi trovare l'equazione della retta passante per $P$ e $Q$ di cui hai le coordinate. Trova la formula sui tuoi appunti e applicala!
Per il punto 3) non c'è una formula (o almeno io non la conosco) che ti dà l'equazione del piano per $r$ e per $s$. Puoi provare con il fascio (proprio) di piani passanti per $r$ e imporre poi l'appartenenza ad esso di un ulteriore punto di $s$.
Tra l'altro la scrittura
$\alpha$(equazione di r)+$beta$(equazione di s)=0
non ha molto senso, visto che per determinare una retta nello spazio servono due equazioni lineari. E non serve a niente nemmeno mettere a sistema, perchè in tal caso, se hai le equazioni delle rette in forma cartesiana, ottieni un sistema di quattro equazioni in tre incognite...
Il problema è che non puoi pretendere di riuscire a metterla in pratica senza aver studiato (o comunque, se l'hai già fatto, dovresti approfondire di più).
Il punto 1) è ok. Un punto $P$ di $r$ è quello di coordinate $(1,0,2)$.
Per il punto 2), devi trovare l'equazione della retta passante per $P$ e $Q$ di cui hai le coordinate. Trova la formula sui tuoi appunti e applicala!
Per il punto 3) non c'è una formula (o almeno io non la conosco) che ti dà l'equazione del piano per $r$ e per $s$. Puoi provare con il fascio (proprio) di piani passanti per $r$ e imporre poi l'appartenenza ad esso di un ulteriore punto di $s$.
Tra l'altro la scrittura
$\alpha$(equazione di r)+$beta$(equazione di s)=0
non ha molto senso, visto che per determinare una retta nello spazio servono due equazioni lineari. E non serve a niente nemmeno mettere a sistema, perchè in tal caso, se hai le equazioni delle rette in forma cartesiana, ottieni un sistema di quattro equazioni in tre incognite...
ok
per il punto tre avevo proprio quel dubbio...
il fatto è che per il punto due ho cercato su internet, nei miei appunti e nei due libri dove ho studiato.. e fidati, ho approfondito..
però come trovare questa equazione della retta passante per due punti "nello spazio" non lo trovo..
al massimo di due punti nel piano, o di tre punti trovando la complanarità.. ma quello che serve a me purtroppo non c'è.
sennò di certo non avrei scritto nel forum!
per il punto tre avevo proprio quel dubbio...
il fatto è che per il punto due ho cercato su internet, nei miei appunti e nei due libri dove ho studiato.. e fidati, ho approfondito..
però come trovare questa equazione della retta passante per due punti "nello spazio" non lo trovo..
al massimo di due punti nel piano, o di tre punti trovando la complanarità.. ma quello che serve a me purtroppo non c'è.
sennò di certo non avrei scritto nel forum!
Mmm, dati due punti $P(x_0,y_0,z_0)$ e $Q(x_1,y_1,z_1)$ l'equazione della retta passante per $P$ e $Q$ è
[tex]\displaystyle \frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}[/tex]
con la convenzione che, se un denominatore si annulla, dovresti annullare il corrispondente numeratore.
Possibile che non abbia mai visto questa formuletta? E' strano che nel vostro corso si facciano esercizi di cui non si studia la parte teorica...
Vabbè comunque la formula è questa, fanne buon uso
Per quanto riguarda il fascio di piani passanti per $r$, si scrive prima l'equazione cartesiana di $r$ che nel tuo caso è
${(x-y-1=0),(y-z+2=0):}$.
L'equazione del fascio è
$x-y-1=0+lambda(y-z+2)=0$.
Ora devi trovare il valore di $lambda$ per cui un punto di $s$ (per esempio $Q$) appartiene al piano.
[tex]\displaystyle \frac{x-x_0}{x_1-x_0}=\frac{y-y_0}{y_1-y_0}=\frac{z-z_0}{z_1-z_0}[/tex]
con la convenzione che, se un denominatore si annulla, dovresti annullare il corrispondente numeratore.
Possibile che non abbia mai visto questa formuletta? E' strano che nel vostro corso si facciano esercizi di cui non si studia la parte teorica...
Vabbè comunque la formula è questa, fanne buon uso
Per quanto riguarda il fascio di piani passanti per $r$, si scrive prima l'equazione cartesiana di $r$ che nel tuo caso è
${(x-y-1=0),(y-z+2=0):}$.
L'equazione del fascio è
$x-y-1=0+lambda(y-z+2)=0$.
Ora devi trovare il valore di $lambda$ per cui un punto di $s$ (per esempio $Q$) appartiene al piano.
grazie millle!!! perfetto! =)
ora questa regoluccia per quanto l'ho cercata me la ricorderò finchè campo!
=)
ora questa regoluccia per quanto l'ho cercata me la ricorderò finchè campo!
=)
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