Rette e piani

[nomen1]

ho una retta $r$ di equazione

${(x= 1+t),(y=2t),(z=t):}$

Quante sono le rette passanti per P (1, 1, 0) incidenti e perpendicolari a r ?

[Cantaro86]

intendi in un punto??? o con qualche altra condizione??

[nomen1]

"Cantaro86":intendi in un punto??? o con qualche altra condizione??

sì...incidenti in un punto

[*pizzaf40]

Buh, non vorrei sbagliare, ma se una retta è composta di infiniti punti, le rette incidenti sono infinite...e infinite anche quelle perpendicolari...

[*pizzaf40]

infinite comunque perchè siamo in 3d

[nomen1]

scusa...ho dimenticato un "piccolo" perticolare.....le rette devono passare per il punto P (1, 1, 0)

[*pizzaf40]

quoto ancora infinite

[Cantaro86]

sono tutte le rette appartenenti al piano perpendicolare alla retta e passante per quel punto...
e sono infinite...

[gugo82]

"nomen":ho una retta $r$ di equazione

${(x= 1+t),(y=2t),(z=t):}$

Quante sono le rette passanti per P (1, 1, 0) incidenti e perpendicolari a $r$ ?

Una sola.

Ricordo che:

Assegnata una retta $r$ ed un punto $P$ fuori da essa, esiste un'unica retta $s$ passante per $P$ che sia incidente ed ortogonale ad $r$.

Una dimostrazione di questo fatto è pressoché immediata.

(Esistenza) Siano $v=(v_1,v_2,v_3)$ un vettore direzionale di $r$, $(x_0,y_0,z_0)$ le coordinate di $P$ e $(x_1,y_1,z_1)$ le coordinate di un fissato punto $Q in r$ (si suppone fissato un sistema di riferimento affine in $RR^3$): il piano $pi$ passante per $P$ ed ortogonale ad $r$ ha equazione cartesiana:

$pi:quad v_1(x-x_0)+v_2(y-y_0)+v_3(z-z_0)=0$,

mentre la retta $r$ ha equazioni parametriche:

$r:quad \{(x=x_1+v_1*t),(y=y_1+v_2*t),(z=z_1+v_3*t):}$,

quindi l'unico punto d'intersezione $M$ di $pi$ con $r$ si trova risolvendo l'equazione lineare in $t$:

$v_1(x_1+v_1*t-x_0)+v_2(y_1+v_2*t-y_0)+v_3(z_1+v_3*t-z_0)=0 quad$ ossia $quad (v_1^2+v_2^2+v_3^2)*t=v_1(x_0-x_1)+v_2(y_0-y_1)+v_3(z_0-z_1)$

e sostituendo il valore della soluzione $tau=(v_1(x_0-x_1)+v_2(y_0-y_1)+v_3(z_0-z_1))/(v_1^2+v_2^2+v_3^2)$ (unica!) nelle equazioni parametriche di $r$: pertanto $M$ ha coordinate $(x_1+v_1*tau,y_1+v_2*tau,z_1+v_3*tau)$.
La retta $s$ passante per $P$ ed $M$ è perpendicolare ad $r$ (giacché giace su $pi$) ed incide $r$ nel punto $M$, quindi gode delle proprietà richieste.

(Unicità) D'altra parte, non avendo $pi$ altri punti d'intersezione con $r$ all'infuori di $M$, la $s$ è l'uica retta normale ad $r$ passante per $P$ che intersechi $r$* e ciò conclude la dimostrazione.

Nel nostro caso $P$ è fuori da $r$ in quanto, sostituendo le coordinate di $P$ nelle equazioni parametriche di $r$, si trova il sistema incompatibile:

$\{(1=1+t),(1=2t),(0=t):}$;

visto che $Pnotin r$ si applica la proposizione che ho dimostrato prima e si ottiene quanto ho affermato in testa al post.



@tutti quelli che sono intervenuti nella discussione: leggete bene i post prima di tirare risposte a caso.


* Qui bisogna ricordare che il piano $pi$ coincide con l'insieme delle rette passanti per $P$ ed ortogonali ad $r$.

[*pizzaf40]

Ah è vero, il punto è fuori dalla retta...allora sì...una perpendicolare e infinite incidenti...

[gugo82]

"pizzaf40":Ah è vero, il punto è fuori dalla retta...allora sì...una perpendicolare e infinite incidenti...

No, ancora non ci siamo.

Assegnata una retta $r$ ed un punto $P$ fuori da essa, le rette condotte per $P$ che:

1) siano ortogonali ad $r$ sono infinite;

2) incidano $r$ sono infinite;

ma è unica la retta contotta per $P$ ortogonale ed incidente $r$.

[Cantaro86]

"pizzaf40":Ah è vero, il punto è fuori dalla retta...allora sì...una perpendicolare e infinite incidenti...

anche io per prima cosa ho pensato che il punto appartenesse alla retta...

[*pizzaf40]

No, ancora non ci siamo.

Assegnata una retta r ed un punto P fuori da essa, le rette condotte per P che:

1) siano ortogonali ad r sono infinite;

2) incidano r sono infinite;

ma è unica la retta contotta per P ortogonale ed incidente r.

Sì sì, sottointendevo che l'ortogonale fosse incidente

anche io per prima cosa ho pensato che il punto appartenesse alla retta...

dahahahahah.....batti 5