Rette e cerchi nel piano di Gauss
Salve a tutti, chiedo l'aiuto di qualcuno nel cercare di risolvere questa tipologia di esercizio:
i)Determinare e disegnare nel piano di Gauss gli z complessi tali che z^2-2(z coniugato)=0;
ii)determinare le equazioni delle rette nel piano che uniscono le coppie di numeri diversi da 0 soddisfacenti alla condizione data
iii)determinare centri e raggi delle circonferenze che si ottengono riflettendo le rette sulla circonferenza unitaria.
bozza risoluzione: nb zbar lo considero z coniugato
i) z^2-2zbar=0
z'=0 è soluzione (perché? se sostituisco a z lo 0 ottengo un'identità giusto?)
sia z diverso da 0; allora z^2=2zbar, prendo il modulo (perché?) |z|^2=2|zbar|=2|z| (perché il modulo del coniugato coincide con il suo coniugato, scusate il gioco); |z|(|z|-2)=0 => |z|=2 quindi z*zbar=|z|^2=4 e zbar=4/z. Ora z^2-8/z=0 <=> z^3=8
so che la prima radice è 2, le altre le moltiplico rispettivamente per la seconda e terza radice terza di 1 (e^((2/3)iPi) e e^((4/3)iPi). quindi ho -1/2+iSqrt3/2 e -1/2-iSqrt3/2. ma la prima soluzione che fine fa?
i)Determinare e disegnare nel piano di Gauss gli z complessi tali che z^2-2(z coniugato)=0;
ii)determinare le equazioni delle rette nel piano che uniscono le coppie di numeri diversi da 0 soddisfacenti alla condizione data
iii)determinare centri e raggi delle circonferenze che si ottengono riflettendo le rette sulla circonferenza unitaria.
bozza risoluzione: nb zbar lo considero z coniugato
i) z^2-2zbar=0
z'=0 è soluzione (perché? se sostituisco a z lo 0 ottengo un'identità giusto?)
sia z diverso da 0; allora z^2=2zbar, prendo il modulo (perché?) |z|^2=2|zbar|=2|z| (perché il modulo del coniugato coincide con il suo coniugato, scusate il gioco); |z|(|z|-2)=0 => |z|=2 quindi z*zbar=|z|^2=4 e zbar=4/z. Ora z^2-8/z=0 <=> z^3=8
so che la prima radice è 2, le altre le moltiplico rispettivamente per la seconda e terza radice terza di 1 (e^((2/3)iPi) e e^((4/3)iPi). quindi ho -1/2+iSqrt3/2 e -1/2-iSqrt3/2. ma la prima soluzione che fine fa?
Risposte
risolviamo,usando la forma esponenziale
$rho^2e^(2itheta)=2rhoe^(-itheta)$
una prima soluzione è $rho=0$ a cui corrisponde $z=0$
per $rho ne 0$ si ha $2/rho=e^(3itheta)$ il che implica $rho=2$ e $3theta=2kpi$,cioè $theta=2/3kpi$ :3 soluzioni per $k=0,1,2$
quindi in totale ci sono 4 soluzioni,non è che la prima si butta : abbiamo valutato prima il caso $rho=0$ e poi il caso $rho ne 0$
per il 3° punto penso che intendessi "riflessione della circonferenza unitaria rispetto a ciascuna delle rette del punto 2"
$rho^2e^(2itheta)=2rhoe^(-itheta)$
una prima soluzione è $rho=0$ a cui corrisponde $z=0$
per $rho ne 0$ si ha $2/rho=e^(3itheta)$ il che implica $rho=2$ e $3theta=2kpi$,cioè $theta=2/3kpi$ :3 soluzioni per $k=0,1,2$
quindi in totale ci sono 4 soluzioni,non è che la prima si butta : abbiamo valutato prima il caso $rho=0$ e poi il caso $rho ne 0$
per il 3° punto penso che intendessi "riflessione della circonferenza unitaria rispetto a ciascuna delle rette del punto 2"
ok, perfetto. quindi come le disegno nel piano:
z'=0
z''=2
z'''=2e^2/3Pi
2''''=2e^4/3Pi?
Otterrei un triangolo ma z=0? origine?
per quanto riguarda il punto 2 e 3? riusciresti a spiegarmi i passaggi logici? mi riferisco ovviamente alla famosa funzione f(z)=zzbar+bbarz+bzbar+c, dove cerco il luogo degli zeri in C, con a e c IReali e b,z Complessi (la dimostrazione la conosco.
Comunque sì è quella, alla fine di tutto dovrebbero risultare tre cerchi inscritti nella circonferenza
z'=0
z''=2
z'''=2e^2/3Pi
2''''=2e^4/3Pi?
Otterrei un triangolo ma z=0? origine?
per quanto riguarda il punto 2 e 3? riusciresti a spiegarmi i passaggi logici? mi riferisco ovviamente alla famosa funzione f(z)=zzbar+bbarz+bzbar+c, dove cerco il luogo degli zeri in C, con a e c IReali e b,z Complessi (la dimostrazione la conosco.
Comunque sì è quella, alla fine di tutto dovrebbero risultare tre cerchi inscritti nella circonferenza
Svolgendo l'esercizio con i numeri complessi in forma algebrica perdo delle soluzioni , perché ?
$z^2-2bar z =0 $
Pongo $z=x+iy$ da cui $bar z =x-iy $ e $z^2 =x^2-y^2+2ixy $
L'equazione diventa $ x^2-y^2+2ixy -2x +2ixy =0 $ che si esplicita nel sistema
$x^2-y^2-2x=0 $
$xy =0 $
Dalla seconda equazione ricavo
I caso) $x=0 $ che portata nella prima comporta $ y=0 $ . quindi la soluzione è $z_0=0 $
II caso) $y=0 $ che portata nella prima comporta $ x^2-2x=0 $ con soluzioni ancora $x=0 $ e quindi ancora $ z_0=0 $ e
$x=2 $ da cui $ z_1 = 2 $
E le altre soluzioni ???
$z^2-2bar z =0 $
Pongo $z=x+iy$ da cui $bar z =x-iy $ e $z^2 =x^2-y^2+2ixy $
L'equazione diventa $ x^2-y^2+2ixy -2x +2ixy =0 $ che si esplicita nel sistema
$x^2-y^2-2x=0 $
$xy =0 $
Dalla seconda equazione ricavo
I caso) $x=0 $ che portata nella prima comporta $ y=0 $ . quindi la soluzione è $z_0=0 $
II caso) $y=0 $ che portata nella prima comporta $ x^2-2x=0 $ con soluzioni ancora $x=0 $ e quindi ancora $ z_0=0 $ e
$x=2 $ da cui $ z_1 = 2 $
E le altre soluzioni ???
distrattamente hai scritto che l'ultimo termine è $2ixy$ mentre invece è $2iy$
L'avrò rifatto almeno 3 volte, sempre con lo stesso errore !!
Grazie
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