Rette complanari

[75america]

Ragazzi ho questo esercizio ho due rette r $ {2x+y=0; 2x+z-1=0} $ e la retta s $ {x-y=0; x-z+1=0} $ dire se le rette r ed s sono complanari e in caso affermativo, rappresentare il piano che le contiene.
Quindi basta che verifico che le due rette siano parallele, quindi i numeri direttori siano proporzionali.
Mi trovo quindi i numeri direttori di r ed s, $dir. r (1,2,-2)$, $dir di s.(1,-1,1)$ ma non mi sembrano proporzionali, se faccio la combinazione lineare sono lin. dipendenti, eppure il libro dice che le due rette sono complanari
So poi come trovarmi il piano in comune, ma i dubbi sui numeri direttori proporzionali.

[_prime_number]

Due rette nello spazio sono complanari se sono parallele o incidenti.

Paola

[75america]

ok su questo siamo daccordo, però la condizione di pararllelismo tra due rette r ed s dice che i loro numeri direttori devono essere proporzionali, ma a me nel caso dell'esercizio (1,2,-2) e (1,-1,1) non mi sembrano proporzionali , mi puoi aiutare su questo?

[_prime_number]

Infatti non lo sono, perché le rette sono complanari per l'altro motivo che ti ho detto.

Paola

[75america]

scusa sto vedendo se le due rette sono incidenti, quindi sviluppo il grande sistema
$\{(2x+y=0),(2x+z-1=0),(x-y=0),(x-z+1=0):}$
e mi trovo solo $\{(y=-2x),(y-z+1=0):}$
non mi viene nulla di concreto che devo fare?

[_prime_number]

Dalla terza e dalla prima equazione si ottiene $x=y=0$. Sostituendo nella seconda e nella quarta si ottiene $z=1$.

Paola

[75america]

si ok perfetto grazie mille paola

[byob12]

"75america":Ragazzi ho questo esercizio ho due rette r $ {2x+y=0; 2x+z-1=0} $ e la retta s $ {x-y=0; x-z+1=0} $ dire se le rette r ed s sono complanari e in caso affermativo, rappresentare il piano che le contiene.
Quindi basta che verifico che le due rette siano parallele, quindi i numeri direttori siano proporzionali.
Mi trovo quindi i numeri direttori di r ed s, $dir. r (1,2,-2)$, $dir di s.(1,-1,1)$ ma non mi sembrano proporzionali, se faccio la combinazione lineare sono lin. dipendenti, eppure il libro dice che le due rette sono complanari
So poi come trovarmi il piano in comune, ma i dubbi sui numeri direttori proporzionali.

Innanzitutto i parametri direttori delle 2 rette che hai trovato sono errati (errore di segno).
I parametri direttori corretti sono:
$r: [1,-2,-2]$
$s: [1,1,1]$

Per verificare se 2 rette sono complanari il metodo più 'meccanico' è l'uso del prodotto misto.
Faccio i conti rifacendomi al tuo esercizio.
Prendi un qualsiasi punto $R in r$, ad esempio $R(0,0,1)$ e un qualsiasi punto $S in s$ (ma $S!=R$), ad esempio $S(1,1,2)$

Siano ora:
$r_1$ $r_2$ $r_3$ i parametri direttori della retta $r$
$s_1$ $s_2$ $s_3$ i parametri direttori della retta $s$
$X_R$ $Y_R$ $Z_R$ le coordinate del punto $R$
$X_S$ $Y_S$ $Z_S$ le coordinate del punto $S$

Il prodotto misto sarà il seguente determinate:
$|(X_R-X_S,Y_R-Y_S,Z_R-Z_S),(r_1,r_2,r_3),(s_1,s_2,s_3)|=|(0-1,0-1,1-2),(1,-2,-2),(1,1,1)|=|(-1,-1,-1),(1,-2,-2),(1,1,1)|=0$

Il fatto che questo determinante sia nullo ti assicura che le 2 rette $r$ e $s$ sono complanari (possono essere parallele o incidenti).
Nel caso il determinante sia $!=0$ allora le 2 rette sono sghembe.