Rette complanari

[indovina]

Ho due rette $r$ ed $s$ in forma parametrica.
per $r$: $x=3+t$
$y=t$
$z=-2t$

per $s$: $x=-1-2t$
$y=-2t$
$z=5+4t$

Devo verificare che sono complanari.
Il libro riporta tra parentesi *vedi gli spazi direttori*
Ma come faccio a vedere gli spazi direttori? C'è una formula apposita?
Perche secondo me dovrei guardare $t$

per $r$: $(1t,1t,-2t)$ --> $t(1,1,-2)$

per $s$: $(-2t,-2t,4t)$ --> $-2t(1,1,-2)$

Dato che coincidono, posso dire che sono parallele e anche complanari
Va bene questo ragionamento, o c'è altro?
Grazie.

[franced]

"clever":
per $r$: $x=3+t$
$y=t$
$z=-2t$

per $s$: $x=-1-2t$
$y=-2t$
$z=5+4t$

Dal momento che le rette sono parallele allora sono complanari.
Dato che ci sei puoi determinare l'equazione cartesiana del piano
che le contiene!

[indovina]

Ci provo.

Prendo su $r$ ed $s$ due punti *a piacere*

$P_r=(3,0,0)$ e $P_s=(-1,0,5)$

Imposto il piano di equazione:

$P=P_r+ J(1,1,-2)+K(P_r-P_s)$

dove $J$ e $K$ sono dei parametri

sostituisco:

$P=(3,0,0)+J(1,1,-2)+K(4,0,-5)$

arrivato qui, come elimino i parametri $J,K$?

[franced]

Ci sono più metodi per eliminare i parametri.

Ma è possibile anche ragionare così:
ti serve un vettore [tex]n = (n_x,n_y,n_z)^T[/tex] ortogonale a [tex](1,1,-2)[/tex] e [tex](4,0,-5)^T[/tex]
per poi scrivere l'equazione cartesiana del piano:

[tex]n_x (x - x_0) + n_y (y - y_0) + n_z (z - z_0) = 0[/tex]

dove [tex](x_0,y_0,z_0)[/tex] è un punto qualsiasi di una delle due rette.

[franced]

"clever":
per $r$: $x=3+t$
$y=t$
$z=-2t$

per $s$: $x=-1-2t$
$y=-2t$
$z=5+4t$

Se fai i calcoli trovi che l'equazione cartesiana del piano
su cui stanno entrambe le rette è

[tex]5\,x + 3\,y + 4\,z - 15 = 0[/tex]


Se poi vuoi sapere come si fa a passare dalla forma parametrica a
quella cartesiana e viceversa puoi guardare qui:

http://www.webalice.it/francesco.daddi/ ... _2009.html

clicca su "esercizi svolti su rette e piani nello spazio" .

[indovina]

Ah benissimo, mi guardo per bene tutti gli esempi!
Grazie per il link!!

[franced]

Prego! Buon Natale!!