Rette complanari
Ciao,
ho questo quesito:
Determinare le equazioni parametriche della retta $ r $ passante per i punti $ A = (2, 3, 1) $ e $ B = (0, 0, 1) $ e della retta $ s $ passante per i punti $ C = (0, 0, 0) $ e $ D = (4, 6, 0) $.
Stabilire se $r$ e $s$ sono complanari.
Quello che mi interessa è la parte in grassetto, quello prima l'ho gia fatto.
Le eq. parametriche che ho ottenuto sono:
Retta $ r $
$ x = -2t + 2 $
$ y = -3t + 3 $
$ z = 1 $
Retta $ s $
$ x = 4t $
$ y = 6t $
$ z = 0 $
Ora, il mio ragionamento per determinare se sono complanari è questo...
Per essere complanari devono essere: parallele, incidenti o coincidenti.
Per determinare ciò mi trovo le equazioni lineari delle due rette:
Retta $ r $ --> $ y = 3/2x $
Retta $ s $ --> $ y = 3/2x $
Le due rette sono coincidenti quindi complanari.
E' giusto? Grazie!
ho questo quesito:
Determinare le equazioni parametriche della retta $ r $ passante per i punti $ A = (2, 3, 1) $ e $ B = (0, 0, 1) $ e della retta $ s $ passante per i punti $ C = (0, 0, 0) $ e $ D = (4, 6, 0) $.
Stabilire se $r$ e $s$ sono complanari.
Quello che mi interessa è la parte in grassetto, quello prima l'ho gia fatto.
Le eq. parametriche che ho ottenuto sono:
Retta $ r $
$ x = -2t + 2 $
$ y = -3t + 3 $
$ z = 1 $
Retta $ s $
$ x = 4t $
$ y = 6t $
$ z = 0 $
Ora, il mio ragionamento per determinare se sono complanari è questo...
Per essere complanari devono essere: parallele, incidenti o coincidenti.
Per determinare ciò mi trovo le equazioni lineari delle due rette:
Retta $ r $ --> $ y = 3/2x $
Retta $ s $ --> $ y = 3/2x $
Le due rette sono coincidenti quindi complanari.
E' giusto? Grazie!
Risposte
non possono essere complanari.. nelle equazioni parametriche $r$ ha la $z=1$, mentre $s$ ha $z=0$, appartengono a piani diversi, controlla meglio le equazioni parametriche, mi sembra da quanto hai scritto che sono parallele ma appartengono a piani diversi
La soluzione del testo dice che sono complanari, ma segue un procedimento diverso da quello che ho fatto io per stabilirlo.
Devi trovare il piano che contiene le due rette, non sono la stessa retta, hai sbagliato nell'ultimo passaggio
Nell'ultimo passaggio vedo che le due rette hanno la stessa eq. lineare, cioè sono uguali.
Sapere che le due rette sono coincidenti mi porta a dire che sono complanari.
Sapere che le due rette sono coincidenti mi porta a dire che sono complanari.
La retta $ r $ ha $ z = 0 $ perchè è stata traslata in modo che passasse per il punto $ A $; se non l'avessi traslata passerebbe dunque per l'origine e la sua equazione avrebbe $ z = 0 $.
Anzi probabilmente sono parallele, perchè l'eq. lineare considera solamente $x$ e $y$, quindi è normale che appaiano coincidenti.
Infatti $z$ è diverso, quindi significa che sono traslate sull'asse $z$, ciò significa che sono parallele. Giusto?
Infatti $z$ è diverso, quindi significa che sono traslate sull'asse $z$, ciò significa che sono parallele. Giusto?
Allora, tu sai che per ricavarti l'equazione parametrica $p(t) = A + t(B-A)$ devi calcolarti il vettore diretto secondo $A$ e $B$
cioè:
$r(t): (2, 3, 1) +t(0-2, 0-3, 1-1) = (2, 3, 1) + t(-2, -3, 0)$
$r: \{(x = -2t + 2), (y = -3t + 3), (z = 1):} $
per la retta s:
$s(t): (0, 0, 0) +t(4-0, 6-0, 0-0) = t(4, 6, 0)$
$s: \{(x = 4t), (y = 6t), (z = 0):} $
e fin qui il tuo ragionamento va bene...
ora per determinare se queste rette sono complanari basta vedere se il seguente determinante è nullo
$|(x_0'-x_0, y_0'-y_0, z_0'-z_0), (l, m, n), (l', m', n')|= |(4-(-2),6-(-3), 0-1),(2,3, 1), (0, 0, 0)|$
che chiaramente è nullo(in quanto l'ultima riga e nulla), quindi le due rette sono complanari e sono anche parallele
Quando ti ricavi le rette nella forma esplicita, ottieni si, due espressioni uguali in $y$, ma perdi il significato di z che nel primo caso vale $1$
nel secondo vale $0$, le rette sono parallele e traslate lungo l'asse $z$ di una unità, se ti fai uno schizzo si vede facilmente
cioè:
$r(t): (2, 3, 1) +t(0-2, 0-3, 1-1) = (2, 3, 1) + t(-2, -3, 0)$
$r: \{(x = -2t + 2), (y = -3t + 3), (z = 1):} $
per la retta s:
$s(t): (0, 0, 0) +t(4-0, 6-0, 0-0) = t(4, 6, 0)$
$s: \{(x = 4t), (y = 6t), (z = 0):} $
e fin qui il tuo ragionamento va bene...
ora per determinare se queste rette sono complanari basta vedere se il seguente determinante è nullo
$|(x_0'-x_0, y_0'-y_0, z_0'-z_0), (l, m, n), (l', m', n')|= |(4-(-2),6-(-3), 0-1),(2,3, 1), (0, 0, 0)|$
che chiaramente è nullo(in quanto l'ultima riga e nulla), quindi le due rette sono complanari e sono anche parallele
Quando ti ricavi le rette nella forma esplicita, ottieni si, due espressioni uguali in $y$, ma perdi il significato di z che nel primo caso vale $1$
nel secondo vale $0$, le rette sono parallele e traslate lungo l'asse $z$ di una unità, se ti fai uno schizzo si vede facilmente
Ma il determinante della matrice mi dice solo che sono complanari giusto? Non mi dice se sono parallele?
Giusto, ma siccome hanno lo stesso vettore direzione(a meno del fattore moltiplicativo -2) se ti calcoli il loro prodotto vettoriale ti viene 0, e da qui ne ricavi il parallelismo
$|(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}), (-2, -3, 0), (4, 6, 0)| = \hat{i}|(-3, 0), (6, 0)| - \hat{j}|(-2, 0), (4, 0)| + \hat{k}|(-2, -3), (4, 6)| = \hat{i}0 +\hat{j}0 +\hat{k}0 = \overline{0}$
$|(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}), (-2, -3, 0), (4, 6, 0)| = \hat{i}|(-3, 0), (6, 0)| - \hat{j}|(-2, 0), (4, 0)| + \hat{k}|(-2, -3), (4, 6)| = \hat{i}0 +\hat{j}0 +\hat{k}0 = \overline{0}$
Ok ottimo grazie! Ma il mio metodo, capisco che può essere più complicato, si può considerare corretto?
Si, basta che hai ben chiaro cosa stai facendo 
Ok ottimo grazie!
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