Rette
Salve a tutti, potreste aiutarmi con questo esercizio?
-trovare le eq parametriche della retta intersezione dei piani x+y–z=2 e 3x–4y+5z=6. Si calcoli l angolo formato dai due piani.
Io ho fatto così
1) ho fatto il prodotto vettoriale tra le due equazioni ricavando due vettori dai coeff. Di x+y-z=2 e 3x-4y+5z=6 e così ho trovato il vettore direzione della retta normale all' intersezione e poi ho trovato, mettendo le equazioni a sistema, i coefficienti di $x_0 e y_0 e Z_0$ e ho sostituito il tutto all' equazione parametrica... Per trovare il coseno ho fatto la somma dei due vettori fratto la loro norma... Ok?
-trovare le eq parametriche della retta intersezione dei piani x+y–z=2 e 3x–4y+5z=6. Si calcoli l angolo formato dai due piani.
Io ho fatto così
1) ho fatto il prodotto vettoriale tra le due equazioni ricavando due vettori dai coeff. Di x+y-z=2 e 3x-4y+5z=6 e così ho trovato il vettore direzione della retta normale all' intersezione e poi ho trovato, mettendo le equazioni a sistema, i coefficienti di $x_0 e y_0 e Z_0$ e ho sostituito il tutto all' equazione parametrica... Per trovare il coseno ho fatto la somma dei due vettori fratto la loro norma... Ok?
Risposte
la retta ha equazione cartesiana
${(x+y-z=2),(3x-4y+5z=6):}$
pertanto un suo vettore direzione è una soluzione del sistema lineare omogeneo
${(x+y-z=0),(3x-4y+5z=0):}$
infatti i vettori normali ai due piani sono rispettivamente $u:=(1,1,-1)$ e $v:=(3,-4,5)$, pertanto un vettore direzione della retta è un vettore ortogonale sia $u$ che a $w$, ovvero un vettore $w:=(x,y,z)$ che risolve il sistema omogeneo
${((1,1,-1)*(x,y,z)=0),((3,-4,5)*(x,y,z)=0):}$
che è lo stesso sistema omogeneo di prima.
l'angolo tra i due piani è l'angolo formato tra $u$ e $v$, il quale è definito da
\(\displaystyle \cos(\theta)=\frac {u \cdot v} {\|u \| \|v \|} \)
${(x+y-z=2),(3x-4y+5z=6):}$
pertanto un suo vettore direzione è una soluzione del sistema lineare omogeneo
${(x+y-z=0),(3x-4y+5z=0):}$
infatti i vettori normali ai due piani sono rispettivamente $u:=(1,1,-1)$ e $v:=(3,-4,5)$, pertanto un vettore direzione della retta è un vettore ortogonale sia $u$ che a $w$, ovvero un vettore $w:=(x,y,z)$ che risolve il sistema omogeneo
${((1,1,-1)*(x,y,z)=0),((3,-4,5)*(x,y,z)=0):}$
che è lo stesso sistema omogeneo di prima.
l'angolo tra i due piani è l'angolo formato tra $u$ e $v$, il quale è definito da
\(\displaystyle \cos(\theta)=\frac {u \cdot v} {\|u \| \|v \|} \)
Grazie mille... Già che ci siamo avrei anche questo problema da porti sulle applicazioni lineari:
siano A e B due vettori di R^2 che ne costituiscono una base. Sia F:R-->R^n un' applicazione lineare. Dimostrare che o gli elementi F(A) , F(B) sono linearmente indipendenti, o l' immagine di F ha dimensione 1 o l' immagine di $F={0}$
Io penso che se F(a) ed F(b) sono base di uno spazio, la loro immagine potrebbe o essere una base del condominio, se isomorfo, o semplicemente vettori l.i. In uno spazio di $dim=^n$.
Non so pero' come escludere le altre due possibilita'. Cioè io direi che l' immagine non può avere dimensione 1 se sono due vettori in quanto se sono due vettori l.i allora la dimensione del codominio , che e' uguale a ker(f)+im(v)=2... Infine l immagine può essere 0 solo se entrambi i vettori considerati fossero uguali a 0( cosa non vera).
siano A e B due vettori di R^2 che ne costituiscono una base. Sia F:R-->R^n un' applicazione lineare. Dimostrare che o gli elementi F(A) , F(B) sono linearmente indipendenti, o l' immagine di F ha dimensione 1 o l' immagine di $F={0}$
Io penso che se F(a) ed F(b) sono base di uno spazio, la loro immagine potrebbe o essere una base del condominio, se isomorfo, o semplicemente vettori l.i. In uno spazio di $dim=^n$.
Non so pero' come escludere le altre due possibilita'. Cioè io direi che l' immagine non può avere dimensione 1 se sono due vettori in quanto se sono due vettori l.i allora la dimensione del codominio , che e' uguale a ker(f)+im(v)=2... Infine l immagine può essere 0 solo se entrambi i vettori considerati fossero uguali a 0( cosa non vera).
scusa ma non vedo quello che hai scritto.
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
qui vedi come scrivere le formule
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html
qui vedi come scrivere le formule
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